Имеются два сосуда, содержащие 80 и 70 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 76 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 75 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Давайте решим задачу шаг за шагом. Обозначим: - \( x \) – масса кислоты в первом сосуде (в кг). - \( y \) – масса кислоты во втором сосуде (в кг). Дано: 1. В первом сосуде 80 кг раствора, а во втором – 70 кг раствора. 2. Смешав оба раствора, получаем 76% кислоту. 3. Если сливить равные массы этих растворов, получим 75% кислоту. Теперь запишем уравнения. 1. Если смешать оба раствора, то общее количество раствора равно \( 80 + 70 = 150 \) кг, а общее количество кислоты будет \( x + y \). Мы знаем, что получаем 76% кислоту: \[ \frac{x + y}{150} = 0.76 \] Таким образом, у нас есть: \[ x + y = 0.76 \cdot 150 = 114 \quad (1) \] 2. Теперь рассмотрим случай, когда смешиваем равные массы растворов. Пусть мы смешаем \( m \) кг каждого раствора. Тогда общее количество раствора будет \( m + m = 2m \), а общее количество кислоты: - В первом растворе \( m \) кг содержат \(\frac{x}{80} \cdot m\) кислоты. - Во втором растворе \( m \) кг содержат \(\frac{y}{70} \cdot m\) кислоты. Общее количество кислоты при смешивании будет: \[ \frac{x}{80} \cdot m + \frac{y}{70} \cdot m \] Мы знаем, что в этом случае раствор будет содержать 75% кислоты: \[ \frac{\frac{x}{80} m + \frac{y}{70} m}{2m} = 0.75 \] Упрощая, получаем: \[ \frac{x}{80} + \frac{y}{70} = 1.5 \quad (2) \] Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2): 1. \( x + y = 114 \) 2. \( \frac{x}{80} + \frac{y}{70} = 1.5 \) Перепишем второе уравнение, умножив его на 560 (наименьшее общее кратное 80 и 70): \[ 7x + 8y = 840 \quad (3) \] Теперь дополнительно из уравнения (1) выразим \( y \): \[ y = 114 - x \] Подставим это значение в уравнение (3): \[ 7x + 8(114 - x) = 840 \] Раскроем скобки: \[ 7x + 912 - 8x = 840 \] Соберем подобные: \[ -x + 912 = 840 \] Таким образом, \[ -x = 840 - 912 \] \[ -x = -72 \] \[ x = 72 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 114 - 72 = 42 \] Таким образом, в первом растворе содержится 72 кг кислоты.