На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Определение фигур: У нас есть прямоугольник ABCD, и мы знаем, что точки K, L, M, N являются серединами его сторон. Это значит, что:

   • K находится на стороне AB,
   • L на стороне BC,
   • M на стороне CD,
   • N на стороне DA.

2. Положение точек: Если AB = a (длина) и AD = b (ширина), тогда координаты точек будут:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b)
   • K(a/2, 0)
   • L(a, b/2)
   • M(a/2, b)
   • N(0, b/2)

3. Фигура AMCD: Четырехугольник AMCD образован точками A, M, C и D. Для определения его площади нужно найти координаты всех вершин и использовать формулу для площади четырехугольника.

4. Площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника = a * b.

5. Площадь четырехугольника AMCD: Для нахождения площади AMCD, можно разбить его на два треугольника: треугольник AMC и треугольник ACD.

   Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] Для треугольника AMC:

   • основание AM = a/2
   • высота AC = b \[ S_{AMC} = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times b = \frac{ab}{4} \]

   Для треугольника ACD: \[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times CD = \frac{1}{2} \times 0 \times b = 0 \]

   Таким образом, площадь AMCD = S_{AMC} + S_{ACD} = \frac{ab}{4} + 0 = \frac{ab}{4}.

6. Вероятность: Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырехугольнику AMCD, определяется как отношение площади AMCD к площади ABCD.

   \[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCD, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.