Чтобы найти площадь ромба, можно использовать формулу, связывающую площадь с длинами его диагоналей:
[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} ]
где ( S ) — площадь ромба, ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей.
В данном случае нам известна сторона ромба, которая равна 20 см, и отношение диагоналей 3:4. Обозначим диагонали как ( d_1 = 3x ) и ( d_2 = 4x ), где ( x ) — некоторый множитель.
Сначала найдём выражение для стороны ромба через диагонали, используя теорему Пифагора. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Таким образом:
[
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2
]
где ( a = 20 , \text{см} ). Подставим диагонали:
[
\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2 = 20^2
]
Это упростится до:
[
\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(2x\right)^2 = 400
]
[
\frac{9x^2}{4} + 4x^2 = 400
]
Теперь приведем к общему знаменателю:
[
\frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = 400
]
[
\frac{25x^2}{4} = 400
]
Умножим обе стороны на 4:
[
25x^2 = 1600
]
Теперь делим обе стороны на 25:
[
x^2 = 64
]
И далее находим ( x ):
[
x = 8
]
Теперь можем найти длины диагоналей:
[
d_1 = 3x = 3 \times 8 = 24 , \text{см}
]
[
d_2 = 4x = 4 \times 8 = 32 , \text{см}
]
Теперь подставим значения диагоналей в формулу для площади:
[
S = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{24 \times 32}{2} = \frac{768}{2} = 384 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь ромба составляет 384 см².
