Чтобы определить основание системы счисления, в которой десятичное число 13 записывается как 111, можем воспользоваться следующим методом.
Число 111 в записи с основанием ( b ) можно представить так:
[
1 \cdot b^2 + 1 \cdot b^1 + 1 \cdot b^0
]
Это упростится до:
[
b^2 + b + 1
]
Теперь мы знаем, что это число должно быть равно 13:
[
b^2 + b + 1 = 13
]
Теперь решим это уравнение:
[
b^2 + b + 1 - 13 = 0
]
[
b^2 + b - 12 = 0
]
Теперь необходимо найти корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать формулу решения квадратного уравнения:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
]
В данном случае ( A = 1 ), ( B = 1 ), ( C = -12 ):
[
b = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}
]
[
b = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}
]
[
b = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}
]
[
b = \frac{-1 \pm 7}{2}
]
Теперь находим два значения:
- ( b = \frac{6}{2} = 3 )
- ( b = \frac{-8}{2} = -4 ) (это значение не подходит, так как основание не может быть отрицательным)
Таким образом, основание системы счисления, в которой десятичное число 13 записывается как 111, равно 3.
