Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 156°? 2. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в некоторую окружность, равна 2. Найдите…

1. Для нахождения количества сторон правильного многоугольника, если каждый его угол равен 156°, используем формулу для величины угла многоугольника с \( n \) сторонами:

\[ \text{Угол} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \]

Поставим в уравнение значение угла 156°:

\[ 156 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n} \]

Умножим обе стороны на \( n \):

\[ 156n = (n-2) \cdot 180 \]

Раскроем скобки:

\[ 156n = 180n - 360 \]

Переносим все члены с \( n \) на одну сторону:

\[ 180n - 156n = 360 \]

Соберем подобные члены:

\[ 24n = 360 \]

Теперь делим обе стороны на 24:

\[ n = \frac{360}{24} = 15 \]

Правильный многоугольник имеет 15 сторон.

2. Чтобы найти сторону правильного четырехугольника, описанного около окружности, в которой вписан правильный четырехугольник со стороной 2, используем формулу для стороны \( a \) правильного многогранника:

Сторона правильного \( n \)-угольника, вписанного в окружность радиуса \( R \):

\[ a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

В нашем случае \( n = 4 \) и \( a = 2 \). Найдем радиус \( R \):

\[ 2 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \] \[ 2 = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 2 = R\sqrt{2} \]

Отсюда:

\[ R = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Теперь перейдем к правильному четырехугольнику, описанному около этой же окружности. Сторона описанного правильного четырехугольника дана формулой:

\[ b = 2R \]

Тогда:

\[ b = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

Сторона описанного четырехугольника равна \( 2\sqrt{2} \).

3. Для нахождения площади правильного треугольника со стороной \( a = \frac{4}{3} \):

Площадь правильного треугольника дается формулой:

\[ S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим значение \( a \):

\[ S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \]

Теперь для правильного шестиугольника, который вписан в ту же окружность радиуса \( R \). Мы нашли \( R \) ранее и оно равно \( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \). Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{шестиугольник}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \]

Подставим \( R = \sqrt{2} \):

\[ S_{\text{шестиугольник}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 3\sqrt{3} \]

Таким образом, площади фигур:

• Площадь треугольника: \( \frac{4\sqrt{3}}{9} \)
• Площадь шестиугольника: \( 3\sqrt{3} \)