- Для нахождения количества сторон правильного многоугольника, если каждый его угол равен 156°, используем формулу для величины угла многоугольника с ( n ) сторонами:
[
\text{Угол} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}
]
Поставим в уравнение значение угла 156°:
[
156 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}
]
Умножим обе стороны на ( n ):
[
156n = (n-2) \cdot 180
]
Раскроем скобки:
[
156n = 180n - 360
]
Переносим все члены с ( n ) на одну сторону:
[
180n - 156n = 360
]
Соберем подобные члены:
[
24n = 360
]
Теперь делим обе стороны на 24:
[
n = \frac{360}{24} = 15
]
Правильный многоугольник имеет 15 сторон.
- Чтобы найти сторону правильного четырехугольника, описанного около окружности, в которой вписан правильный четырехугольник со стороной 2, используем формулу для стороны ( a ) правильного многогранника:
Сторона правильного ( n )-угольника, вписанного в окружность радиуса ( R ):
[
a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)
]
В нашем случае ( n = 4 ) и ( a = 2 ). Найдем радиус ( R ):
[
2 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
[
2 = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
2 = R\sqrt{2}
]
Отсюда:
[
R = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
]
Теперь перейдем к правильному четырехугольнику, описанному около этой же окружности. Сторона описанного правильного четырехугольника дана формулой:
[
b = 2R
]
Тогда:
[
b = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
]
Сторона описанного четырехугольника равна ( 2\sqrt{2} ).
- Для нахождения площади правильного треугольника со стороной ( a = \frac{4}{3} ):
Площадь правильного треугольника дается формулой:
[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим значение ( a ):
[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{9}
]
Теперь для правильного шестиугольника, который вписан в ту же окружность радиуса ( R ). Мы нашли ( R ) ранее и оно равно ( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ). Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
[
S_{\text{шестиугольник}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2
]
Подставим ( R = \sqrt{2} ):
[
S_{\text{шестиугольник}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 3\sqrt{3}
]
Таким образом, площади фигур:
- Площадь треугольника: ( \frac{4\sqrt{3}}{9} )
- Площадь шестиугольника: ( 3\sqrt{3} )
