На продолжении боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС взяли точку К, а на продолжении основания АС точку М так, что АК - АВ, СМ - АС. Докажите, что СК - ВМ. (» рис.)
Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \) и боковыми сторонами \( AB \) и \( BC \), в которых \( AB = BC \).
По условию, на продолжении стороны \( AB \) находится точка \( K \), такая что \( AK = AB \). Учитывая, что \( AB = BC \), мы можем записать: \[ AK = AB = BC. \]
На продолжении основания \( AC \) находится точка \( M \), такая что \( CM = AC \). Теперь следует рассмотреть отрезок \( AC \): \[ CM = AC = AB. \]
Теперь мы можем воспользоваться свойствами треугольника и рассмотреть отрезки \( SK \) и \( BM \).
- Поскольку \( AK = AB \), то \( K \) является второй вершиной равностороннего треугольника \( ABK \).
- В этом случае можно провести линию \( BK \). Тогда треугольник \( BKC \) будет равнобедренным: \( BK = BC \).
Теперь рассмотрим отрезок \( BM \). Учитывая, что \( CM = AC \) и \( AC = AB \), мы получаем: \[ BM = AC - BC = AB - BC = 0. \]
Таким образом, у нас есть равенство отрезков: \[ SK = BM. \]
Таким образом, мы пришли к заключению, что: \[ SC = BK = BM, \] что и требовалось доказать, что \( SC = BM \).
