В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 корней из 3 точка N- середина ребра CB. Найди длину вектора DA-DN.

Чтобы найти длину вектора \( DA - DN \) в правильном тетраэдре \( DABC \) с ребром \( 5\sqrt{3} \) и точкой \( N \) как серединой ребра \( CB \), начнем с определения координат всех точек тетраэдра.

1. Координаты вершин тетраэдра:

   • Пусть \( A \) будет в координатах \( (0, 0, 0) \).
   • \( B \) будет в \( (5\sqrt{3}, 0, 0) \).
   • Чтобы разместить \( C \) и \( D \) с учетом правильного тетраэдра, воспользуемся следующим:
     • \( C \) будет в \( \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}, 0\right) = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, 0\right) \).
     • \( D \) будет в \( \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) \).

2. Координаты точки N: Точка \( N \) является серединой отрезка \( CB \). Координаты \( C \) и \( B \): \( C \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, 0\right) \) и \( B (5\sqrt{3}, 0, 0) \). Используем формулу для нахождения середины отрезка: \[ N = \left( \frac{x_C + x_B}{2}, \frac{y_C + y_B}{2}, \frac{z_C + z_B}{2} \right) = \left( \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} + 5\sqrt{3}}{2}, \frac{\frac{5}{2} + 0}{2}, 0 \right) = \left( \frac{15\sqrt{3}}{4}, \frac{5}{4}, 0 \right) \]

3. Вектор DA: \[ \vec{DA} = A - D = (0, 0, 0) - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{6}, -\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) \]

4. Вектор DN: \[ \vec{DN} = N - D = \left(\frac{15\sqrt{3}}{4}, \frac{5}{4}, 0\right) - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) \] Приводим к общему знаменателю: \[ DN = \left(\frac{15\sqrt{3}}{4} - \frac{10\sqrt{3}}{4}, \frac{5}{4} - \frac{5}{6}, 0 - \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) \] Теперь, выполним вычитание: \[ DN = \left(\frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{15 - 10}{12}, -\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{5}{12}, -\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) \]

5. Вектор DA - DN: \[ DA - DN = \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{4}, -\frac{5}{6} - \frac{5}{12}, -\frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) \] Упрощаем: \[ = \left(-\frac{10\sqrt{3}}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{4}, -\frac{10 + 5}{12}, 0\right) = \left(-\frac{15\sqrt{3}}{4}, -\frac{15}{12}, 0\right) \]

6. Нахождение длины вектора: Используем формулу длины вектора: \[ ||DA - DN|| = \sqrt{\left(-\frac{15\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{15}{12}\right)^2 + 0^2} \] Вычисляем: \[ = \sqrt{\frac{225 \cdot 3}{16} + \frac{225}{144}} = \sqrt{\frac{675}{16} + \frac{225}{144}} \] Приводим к общему знаменателю: \[ = \sqrt{\frac{675 \cdot 9 + 225}{144}} = \sqrt{\frac{6075 + 225}{144}} = \sqrt{\frac{6300}{144}} = \sqrt{\frac{1050}{24}} \]

Таким образом, длина вектора \( DA - DN \) равна \( \frac{15\sqrt{14}}{12} \).