Найдите множество решений неравенства: (x^2+7x)(x^2-7x+6)<0

Чтобы решить неравенство \((x^2+7x)(x^2-7x+6)<0\), начнем с анализа каждого множителя. 1. **Решим первое уравнение**: \(x^2 + 7x = 0\). \[ x(x + 7) = 0 \] Отсюда получаем корни: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -7 \] 2. **Решим второе уравнение**: \(x^2 - 7x + 6 = 0\). Используем дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \] Корни: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \] Это даёт \(x = 6\) и \(x = 1\). Итак, у нас есть корни: \(x = -7\), \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 6\). 3. **Определим интервалы**. Мы будем исследовать знак произведения на промежутках, определяемых корнями: \(-\infty, -7, 0, 1, 6, +\infty\). Проверим каждый интервал: - **Интервал** \( (-\infty, -7) \): выберем, например, \(x = -8\) \[ (x^2 + 7x) = 64 - 56 = 8 > 0, \quad (x^2 - 7x + 6) = 64 + 56 + 6 = 126 > 0 \quad \Rightarrow \text{положительно} \] - **Интервал** \( (-7, 0) \): выберем \(x = -1\) \[ (x^2 + 7x) = 1 - 7 = -6 < 0, \quad (x^2 - 7x + 6) = 1 + 7 + 6 = 14 > 0 \quad \Rightarrow \text{отрицательно} \] - **Интервал** \( (0, 1) \): выберем \(x = 0.5\) \[ (x^2 + 7x) = 0.25 + 3.5 = 3.75 > 0, \quad (x^2 - 7x + 6) = 0.25 - 3.5 + 6 = 2.75 > 0 \quad \Rightarrow \text{положительно} \] - **Интервал** \( (1, 6) \): выберем \(x = 2\) \[ (x^2 + 7x) = 4 + 14 = 18 > 0, \quad (x^2 - 7x + 6) = 4 - 14 + 6 = -4 < 0 \quad \Rightarrow \text{отрицательно} \] - **Интервал** \( (6, +\infty) \): выберем \(x = 7\) \[ (x^2 + 7x) = 49 + 49 = 98 > 0, \quad (x^2 - 7x + 6) = 49 - 49 + 6 = 6 > 0 \quad \Rightarrow \text{положительно} \] 4. **Теперь составим знаковую таблицу**: | Интервал | (-∞, -7) | (-7, 0) | (0, 1) | (1, 6) | (6, +∞) | |-------------------|----------|---------|--------|--------|---------| | Знак \( (x^2 + 7x) \) | + | - | + | + | + | | Знак \( (x^2 - 7x + 6) \) | + | + | + | - | + | | Знак произведения | + | - | + | - | + | 5. **Решение неравенства**: требуется, чтобы произведение было меньше нуля. Это происходит на интервалах: \[ (-7, 0) \quad \text{и} \quad (1, 6) \] Следовательно, множество решений неравенства \((x^2+7x)(x^2-7x+6)<0\) будет: \[ \boxed{(-7, 0) \cup (1, 6)} \]