На сколько нулей заканчивается десятичная запись выражения? 120400^10 · 39 000^10

Чтобы определить, на сколько нулей заканчивается десятичная запись выражения \(120400^{10} \cdot 39000^{10}\), нам нужно учитывать количество множителей 10 в результате. Каждый множитель 10 можно разложить на 2 и 5, поэтому нам нужно выяснить, сколько пар 2 и 5 мы можем найти в разложении чисел. 1. Начнем с разложения на простые множители: - \(120400 = 1204 \times 100 = 1204 \times 10^2 = 1204 \times (2 \cdot 5)^2\). - Найдем разложение 1204. \(1204 = 2^2 \cdot 301\) (где 301 — простое число). - Таким образом, \(120400 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 301^{1}\). 2. Учитываем еще возведение в степень 10: - \(120400^{10} = (2^4 \cdot 5^2 \cdot 301)^10 = 2^{40} \cdot 5^{20} \cdot 301^{10}\). Теперь рассмотрим число \(39000\): 1. \(39000 = 390 \times 100 = 390 \times (10^2) = 390 \times (2 \cdot 5)^2\). 2. Разложим 390: 390 = \(39 \times 10 = 39 \times (2 \cdot 5)\). - \(39 = 3 \times 13\). - Таким образом, \(390 = 3 \cdot 13 \cdot (2 \cdot 5)\). 3. Подсчитаем: \(39000 = (3 \cdot 13) \cdot 2^2 \cdot 5^2\). 4. Теперь возведем в степень 10: - \(39000^{10} = (3 \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 5^2)^{10} = 3^{10} \cdot 13^{10} \cdot 2^{20} \cdot 5^{20}\). Теперь объединим оба результата: \[ 120400^{10} \cdot 39000^{10} = (2^{40} \cdot 5^{20} \cdot 301^{10}) \cdot (3^{10} \cdot 13^{10} \cdot 2^{20} \cdot 5^{20}). \] \[ = 2^{40+20} \cdot 5^{20+20} \cdot 3^{10} \cdot 13^{10} \cdot 301^{10} = 2^{60} \cdot 5^{40} \cdot 3^{10} \cdot 13^{10} \cdot 301^{10}. \] Чтобы определить количество нулей в десятичной записи, необходимо взять минимальное значение между показателями степеней 2 и 5: \[ \text{min}(60, 40) = 40. \] Таким образом, десятичная запись выражения \(120400^{10} \cdot 39000^{10}\) заканчивается на 40 нулей.