На сколько нулей заканчивается десятичная запись выражения? 120400^10 · 39 000^10

Чтобы определить, на сколько нулей заканчивается десятичная запись выражения \(120400^{10} \cdot 39000^{10}\), нужно выяснить, сколько раз число 10 делится в данном произведении. Это можно сделать, найдя количество множителей 2 и 5 в разложении полученного числа, поскольку \(10 = 2 \cdot 5\).

1. Разложим числа на простые множители:

   • \(120400 = 1204 \cdot 100 = 1204 \cdot 10^2\)
     \(1204 = 2^2 \cdot 301\) (301 – простое число)
     Итак, \(120400 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 301^{10}\).

   • Получается:
     \(120400^{10} = (2^4 \cdot 5^2 \cdot 301)^{10} = 2^{40} \cdot 5^{20} \cdot 301^{10}\).

   • \(39000 = 390 \cdot 100 = 390 \cdot 10^2\)
     \(390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13\)
     Итак, \(39000 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1 \cdot 10^2\).
     Получается:
     \(39000^{10} = (2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13 \cdot 10^2)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 5^{10} \cdot 13^{10} \cdot 10^{20}\).

2. Теперь объединим результаты: \[ 120400^{10} \cdot 39000^{10} = (2^{40} \cdot 5^{20}) \cdot (2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 10^{20}) \] \[ = 2^{40} \cdot 5^{20} \cdot 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot (2 \cdot 5)^{20} \] \[ = 2^{40 + 10 + 20} \cdot 5^{20 + 10 + 20} = 2^{70} \cdot 5^{50} \]

3. Количество нулей: Количество нулей в конце десятичной записи определяется наименьшей степенью числа 10, которую можно выделить из полученного произведения. В нашем случае:

• Общее количество \(2\): 70
• Общее количество \(5\): 50

Наименьшая из этих величин — 50. Таким образом, десятичная запись выражения \(120400^{10} \cdot 39000^{10}\) заканчивается на 50 нулей.