В треугольнике A B C ABC угол C C равен 9 0 ∘ , 90 ∘ , длина стороны A B = 5 , AB=5, sin ⁡ A = 4 5 . sinA= 5 4 ​ . Найдите длину стороны A C . AC.

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \) используем теорему синусов. У нас есть сторона \( AB \) и синус угла \( A \):

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Поскольку угол \( C = 90^\circ \), то \( \sin C = 1 \), и у нас есть:

\[ \frac{AB}{1} = AC\sin B = BC\sin A \]

Мы знаем, что \( AB = 5 \) и \( \sin A = \frac{4}{5} \).

Мы можем найти \( AC \) следующим образом:

\[ \frac{5}{\sin 90^\circ} = AC \]

Сначала найдем угол \( B \). Для этого используем тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C \]

Поскольку \( \sin C = 1 \),

\[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \sin^2 B = 1 \]

Теперь решим уравнение:

\[ \frac{16}{25} + \sin^2 B = 1 \] \[ \sin^2 B = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 B = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] \[ \sin B = \frac{3}{5} \]

Теперь мы можем найти \( AC \):

\[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] \[ \frac{5}{\frac{4}{5}} = \frac{AC}{\frac{3}{5}} \]

Перемножим:

\[ 5 \cdot \frac{5}{4} = \frac{AC}{\frac{3}{5}} \]

Упрощаем:

\[ \frac{25}{4} = \frac{AC}{\frac{3}{5}} \] \[ AC = \frac{25 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \]

Итак, длина стороны \( AC \) равна \( \frac{15}{4} \) или \( 3.75 \).