В прямоугольном треугольнике ( ABC ) с углом ( C = 90^\circ ) используем теорему синусов. У нас есть сторона ( AB ) и синус угла ( A ):
[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
]
Поскольку угол ( C = 90^\circ ), то ( \sin C = 1 ), и у нас есть:
[
\frac{AB}{1} = AC\sin B = BC\sin A
]
Мы знаем, что ( AB = 5 ) и ( \sin A = \frac{4}{5} ).
Мы можем найти ( AC ) следующим образом:
[
\frac{5}{\sin 90^\circ} = AC
]
Сначала найдем угол ( B ). Для этого используем тригонометрическое соотношение:
[
\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C
]
Поскольку ( \sin C = 1 ),
[
\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \sin^2 B = 1
]
Теперь решим уравнение:
[
\frac{16}{25} + \sin^2 B = 1
]
[
\sin^2 B = 1 - \frac{16}{25}
]
[
\sin^2 B = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
]
[
\sin B = \frac{3}{5}
]
Теперь мы можем найти ( AC ):
[
\frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}
]
[
\frac{5}{\frac{4}{5}} = \frac{AC}{\frac{3}{5}}
]
Перемножим:
[
5 \cdot \frac{5}{4} = \frac{AC}{\frac{3}{5}}
]
Упрощаем:
[
\frac{25}{4} = \frac{AC}{\frac{3}{5}}
]
[
AC = \frac{25 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{75}{20} = \frac{15}{4}
]
Итак, длина стороны ( AC ) равна ( \frac{15}{4} ) или ( 3.75 ).
