Отрезок AB-диаметр круга с площадью 36см^2, точки P и Q лежат на одной полуокружности с концами A и B . найдите площадь фигуры ограниченной хордами AP и AQ и дугой окружности , если душа AP = дуге BQ=45°

Чтобы решить эту задачу, начнем с нахождения радиуса круга. Площадь круга равна 36 см², следовательно, можно использовать формулу площади круга: \[ S = \pi r^2 \] где \( S \) — площадь, а \( r \) — радиус. Подставим известные значения: \[ 36 = \pi r^2 \] Теперь выразим радиус: \[ r^2 = \frac{36}{\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{36}{\pi}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}} \] Так как отрезок AB является диаметром, его длина будет равна \( 2r \): \[ AB = 2r = 2 \cdot \frac{6}{\sqrt{\pi}} = \frac{12}{\sqrt{\pi}} \] Теперь нужно найти площадь фигуры, ограниченной хордой AP, хордой AQ и дугой окружности, между ними. Данные ходы AP и AQ образуют угол \( 45^\circ \) под дугой \( BQ \), поэтому мы сможем воспользоваться свойством площади сектора круга. Площадь сектора с углом \( \theta \) в радианах рассчитывается по формуле: \[ S_{сектора} = \frac{r^2 \theta}{2} \] Сначала переведем угол 45° в радианы: \[ \theta = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} \] Теперь вычислим площадь сектора, соответствующего углу \( B \): \[ S_{сектора} = \frac{r^2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} \] \[ = \frac{r^2 \cdot \pi}{8} \] Подставляем значение \( r^2 = \frac{36}{\pi} \): \[ S_{сектора} = \frac{\frac{36}{\pi} \cdot \pi}{8} = \frac{36}{8} = 4.5 \text{ см}^2 \] Теперь вычислим треугольник, образованный точками A, P и O (центром круга). Площадь треугольника можно найти с помощью формулы: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\] где \( h \) — высота, проведенная к основанию. Поскольку угол между AP и AQ равен 45°, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника для нахождения высоты. Согласно свойству, высота треугольника равна: \[ h = r \cdot \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = r \cdot \sin(22.5^\circ) \] Тем не менее, можем заметить, что \( S_{треугольника} = \frac{r^2 \sin(45^\circ)}{2} \). С учетом, что: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Мы можем переписать формулу площади треугольника: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r^2 \sqrt{2}}{4} \] Подставим \( r^2 = \frac{36}{\pi} \): \[ S_{треугольника} = \frac{36 \cdot \sqrt{2}}{4\pi} = \frac{9\sqrt{2}}{\pi} \text{ см}^2 \] Теперь можем найти итоговую площадь фигуры, путем вычитания площади треугольника из площади сектора: \[ S_{фигуры} = S_{сектора} - S_{треугольника} \] Получим: \[ S_{фигуры} = 4.5 - \frac{9\sqrt{2}}{\pi} \text{ см}^2 \] Это ответ на вашу задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дальнейшая помощь, не стесняйтесь спрашивать!