4) sin 2alpha cos 2alpha tg 2a, если ctg alpha = - 4/3 (3pi)/2 < alpha < 2pi
Для решения задачи, давайте проанализируем выражение \( \sin 2\alpha \cos 2\alpha \tan 2\alpha \) при условии, что \( \cot \alpha = -\frac{4}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).
Определяем значение угла α: Из условия \( \cot \alpha = -\frac{4}{3} \) мы можем найти значение \( \tan \alpha \): \[ \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = -\frac{3}{4} \] Угол \( \alpha \) находится в четвертой четверти, так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).
Найдем синусы и косинусы: Используем основной тригонометрический принцип: \[ \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \] \[ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 1 = \sec^2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \frac{9}{16} + 1 = \sec^2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \sec^2 \alpha = \frac{25}{16} \] Таким образом, \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{4}{5} \quad \text{(в четвертой четверти косинус положителен)} \] Теперь найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = -\frac{3}{5} \quad \text{(в четвертой четверти синус отрицателен)} \]
Далее, найдем \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \): Используем формулы удвоенного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25} \] \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \]
Теперь найдем \( \tan 2\alpha \): \[ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7} \]
И наконец подставляем все в выражение: \[ \sin 2\alpha \cos 2\alpha \tan 2\alpha = \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(\frac{7}{25}\right) \cdot \left(-\frac{24}{7}\right) \] Упрощаем: \[ = \frac{24 \cdot 24 \cdot 7}{25 \cdot 25 \cdot 7} = \frac{576}{625} \]
Ответ: \( \sin 2\alpha \cos 2\alpha \tan 2\alpha = \frac{576}{625} \).
