Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О, AD = 18, BC = 6, АС = 20. Найдите АО.

В данной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, сдача задачи сводится к тому, чтобы рассчитать длину отрезка AO, используя свойство пересечения диагоналей трапеции.

По свойству пересечения диагоналей трапеции, можно установить, что отношение отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения, равно отношению длин оснований трапеции:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{18}{6} = 3 \]

Это означает, что AO в 3 раза больше, чем OC. Обозначим AO как \(x\), тогда \(OC\) будет равен \(\frac{x}{3}\), так как \(OC\) на треть меньше \(AO\).

Теперь, согласно свойству диагоналей, сумма отрезков AO и OC равна длине диагонали AC:

\[ AO + OC = AC \] \[ x + \frac{x}{3} = 20 \]

Чтобы решить это уравнение, преобразуем левую часть:

\[ x + \frac{x}{3} = \frac{3x + x}{3} = \frac{4x}{3} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{4x}{3} = 20 \]

Умножим обе стороны на 3:

\[ 4x = 60 \]

Теперь поделим на 4:

\[ x = 15 \]

Таким образом, длина отрезка \(AO\) равна 15.

Ответ: \(AO = 15\).