Чтобы решить задачу, начнем с определения событий:
- Событие (A): "в первый раз выпал орёл".
- Событие (B): "решка выпала дважды".
а) Являются ли эти события независимыми?
События (A) и (B) независимы, если выполняется:
[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ]
- Найдём (P(A)):
Событие (A) означает, что при первом броске выпал орёл. Вероятность этого события:
[
P(A) = \frac{1}{2}
]
- Найдём (P(B)):
Событие (B) означает, что решка выпала дважды за три броска. Это может произойти при следующих комбинациях:
- OOO
- OOR
- ORO
- ROO
- ORR
- ROR
- RRO
- RRR
Здесь объединим решки и орлы так, чтобы было ровно 2 решки (R) и 1 орел (O). Возможные результаты: RRO, ROR, ORR.
Число благоприятных исходов:
[
\text{Количество способов выбрать 2 решки из 3 бросков} = \binom{3}{2} = 3
]
Вероятность события (B):
[
P(B) = \frac{3}{8}
]
- Найдём (P(A \cap B)):
Событие (A \cap B) означает, что первый бросок - орёл, а в оставшихся двух бросках должно быть две решки. Вероятные исходы: R и R при двух оставшихся бросках. У нас есть только один способ (так как первый бросок уже определён) для того, чтобы это произошло: O RR.
Вероятность события (A \cap B):
[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(\text{решка во 2-м и 3-м броске}) = P(A) \cdot P(B_{2,3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}
]
Проверяем независимость:
Теперь проверим:
[
P(A \cap B) = \frac{1}{8}
]
Теперь вычислим произведение:
[
P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16}
]
Так как (P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)), следовательно, события не независимы.
б) Найдите вероятность объединения этих событий:
Теперь найдём вероятность объединения событий (A) и (B):
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
]
Подставим значения:
[
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8}
]
Найдем:
[
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
]
Таким образом, вероятность объединения событий (A) и (B) составляет (\frac{3}{4}).
