Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность…
Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.
Чтобы решить задачу, начнем с определения событий:
- Событие \(A\): "в первый раз выпал орёл".
- Событие \(B\): "решка выпала дважды".
а) Являются ли эти события независимыми?
События \(A\) и \(B\) независимы, если выполняется:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
- Найдём \(P(A)\): Событие \(A\) означает, что при первом броске выпал орёл. Вероятность этого события:
\[ P(A) = \frac{1}{2} \]
- Найдём \(P(B)\): Событие \(B\) означает, что решка выпала дважды за три броска. Это может произойти при следующих комбинациях:
- OOO
- OOR
- ORO
- ROO
- ORR
- ROR
- RRO
- RRR
Здесь объединим решки и орлы так, чтобы было ровно 2 решки (R) и 1 орел (O). Возможные результаты: RRO, ROR, ORR.
Число благоприятных исходов:
\[ \text{Количество способов выбрать 2 решки из 3 бросков} = \binom{3}{2} = 3 \]
Вероятность события \(B\):
\[ P(B) = \frac{3}{8} \]
- Найдём \(P(A \cap B)\): Событие \(A \cap B\) означает, что первый бросок - орёл, а в оставшихся двух бросках должно быть две решки. Вероятные исходы: R и R при двух оставшихся бросках. У нас есть только один способ (так как первый бросок уже определён) для того, чтобы это произошло: O RR.
Вероятность события \(A \cap B\):
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(\text{решка во 2-м и 3-м броске}) = P(A) \cdot P(B_{2,3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \]
Проверяем независимость:
Теперь проверим:
\[ P(A \cap B) = \frac{1}{8} \]
Теперь вычислим произведение:
\[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]
Так как \(P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)\), следовательно, события не независимы.
б) Найдите вероятность объединения этих событий:
Теперь найдём вероятность объединения событий \(A\) и \(B\):
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Подставим значения:
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \]
Найдем:
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
Таким образом, вероятность объединения событий \(A\) и \(B\) составляет \(\frac{3}{4}\).
