Для решения задачи начнём с анализа заданных параметров. У нас есть шар с объёмом (32\sqrt{3}\pi , \text{см}^3). Мы можем использовать формулу объёма шара:
[
V = \frac{4}{3}\pi r^3
]
где (r) - радиус шара. Подставим известный объём в эту формулу:
[
32\sqrt{3}\pi = \frac{4}{3}\pi r^3
]
Сначала можно избавиться от (\pi) с обеих сторон:
[
32\sqrt{3} = \frac{4}{3}r^3
]
Теперь умножим обе стороны на (\frac{3}{4}):
[
r^3 = 32\sqrt{3} \cdot \frac{3}{4} = 24\sqrt{3}
]
Теперь найдём радиус:
[
r = \sqrt[3]{24\sqrt{3}}
]
После нахождения радиуса, необходимо рассмотреть угол КРТ. Угол КРТ=60° означает, что мы имеем треугольник с одним углом 60°, где (\text{T}) и (\text{K}) - точки на поверхности шара, а (\text{R}) - точка на его диагонали.
Длину хорды (TK) можно найти, используя формулы для хорд в окружности, но так как мы работаем со сферой, будет удобнее использовать свойство треугольника. Если провести радиусы (OT) и (OK) из центра шара до точек (T) и (K), то можно заметить, что (TK) - это основание равнобедренного треугольника (OTK) с углом при вершине (O) равным (60°).
Длина хорды (TK) может быть найдена по формуле:
[
TK = 2r \cdot \sin\left(\frac{60°}{2}\right) = 2r \cdot \sin(30°) = 2r \cdot \frac{1}{2} = r
]
Теперь подставим найденный радиус (r = \sqrt[3]{24\sqrt{3}}) в формулу для длины хорды:
[
TK = \sqrt[3]{24\sqrt{3}}
]
Таким образом, длина хорды (TK) равна радиусу шара, который можно вычислить, если выразить и упростить. Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачей! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.
