Практическая работа №4 Тема: Расчет моды и медианы в статистике. Цель: сформировать умение находить моду и медиану. Теоретические сведения к практической работе: Мода (Мо) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке. 1, 2, 7, 6, 5, 3, 2 Мо=2 4, 2, 8, 8, 3, 1, 4 Мо1=4, Мо2=8 Х 2 3 4 8 10 М 1 2 3 1 1 М0=4 Медиана (Ме) – это число, разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству части. Если в упорядоченной выборке нечетное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если четное количество – медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел. 4, 2, 8, 3, 10: 2, 3, 4, 8, 10 Ме=4 2, 7, 3, 5, 4, 1: 1, 2, 3, 4, 5, 7 Ме=(3+4)/2=3,5 Х 2 3 8 М 1 2 4 2, 3, 3, 8, 8, 8, 8 Ме=8 Среднее (среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Если рассматривается совокупность значений случайной величины Х, то ее среднее обозначают ¯Х Х: 2, 8, 3, 10, 1 ¯Х=(2+8+3+10+1)/5=24/5=4,8 Х 2 3 4 8 10 М 1 2 3 1 1 Математическое ожидание Разность наибольшего и наименьшего значения случайной величины выборки называют ее размахом и обозначают R. 30, 70, 110, 200 R=200-30=170 Среднее (среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Х: 3, 5, 6, 7, 8 Отклонением от среднего называется разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки. Х 3 5 6 7 8 -2,8 -0,8 0,2 1,2 2,2 Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений. Х 3 5 6 7 8 -2,8 -0,8 0,2 1,2 2,2 7,84 0,64 0,04 1,44 4,84 Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением и обозначается σ. Пример: Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение: Х 0 1 2 3 М 4 2 3 1 Х 0 1 2 3 М 4 2 3 1 -1,1 -0,1 0,9 1,9 1,21 0,01 0,81 3,61 Случайная величина Х – это числовая функция , определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы: xi x1 x2 … xn pi p1 p2 … pn Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания . Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам: Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии . Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х). хi 2 5 8 9 рi 0,1 0,4 0,3 0,2 Решение: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05. Решение: Содержание практической работы: А. Ответить на вопросы: 1) Дайте определение моды. Приведите примеры нахождения моды. 2) Дайте определение медианы. Приведите примеры нахождения медианы. 3) Дайте определение дисперсии. Приведите примеры нахождения дисперсии. 4) Дайте определение среднего квадратичного отклонения. Приведите примеры нахождения среднего квадратичного отклонения. 5) Дайте определение математического ожидания. Укажите формулу для его нахождения. Б. Выполнить задания: 1) Найти моду, медиану, размах и среднее выборки 8,6,5,9,1,10,2,5,6,4,8,7,5,2,3,6,5,2. 2) Найти моду, медиану, среднее и математическое ожидание Х 5 8 1 2 0 9 М 1 3 6 1 2 1 3) Найти моду, медиану, дисперсия и среднее квадратичное отклонение Х 1 2 5 4 3 0 М 2 3 1 6 8 4 4) Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х). хi 1 6 8 2 3 рi 0,2 0,3 0,1 0,3 0,1 5) Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 230 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,07.

**Практическая работа №4** **Тема: Расчет моды и медианы в статистике.** ### А. Ответы на вопросы: 1) **Определение моды:** Мода (Мо) – это значение случайной величины, которое встречается наиболее часто в данной выборке. Например, в наборе данных 1, 2, 2, 3, 4, 5 мода будет равна 2, так как она встречается чаще других значений. 2) **Определение медианы:** Медиана (Ме) – это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные части. Если общее количество элементов нечетное, медиана является средним элементом. Если четное – медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений. Например, для массива 1, 2, 3, 4, 5 медиана равна 3. Для массива 1, 2, 3, 4, 5, 6 медиана будет (3+4)/2 = 3.5. 3) **Определение дисперсии:** Дисперсия (D) – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от её среднего. Она измеряет, насколько значения разбросаны относительно среднего. Например, для выборки 1, 2, 3: - Среднее (¯X) = (1+2+3)/3 = 2 - Отклонения от среднего: -1, 0, 1 - Квадраты отклонений: 1, 0, 1 - Дисперсия D = (1+0+1)/3 = 2/3. 4) **Определение среднего квадратичного отклонения:** Среднее квадратичное отклонение (σ) – это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает среднее отклонение значений от среднего. Например, если дисперсия равна 4, то σ = √4 = 2. 5) **Определение математического ожидания:** Математическое ожидание (М(Х)) – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности. Формула: \[ M(X) = \sum (x_i \cdot p_i) \] где \(x_i\) – значение случайной величины, а \(p_i\) – вероятность этого значения. ### Б. Выполнение заданий: 1) **Найти моду, медиану, размах и среднее выборки:** Данные: 8, 6, 5, 9, 1, 10, 2, 5, 6, 4, 8, 7, 5, 2, 3, 6, 5, 2. - **Упорядочим выборку:** 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10. - **Мода (Мо):** 5 (встречается чаще всего). - **Медиана (Ме):** (5+5)/2 = 5 (поскольку это среднее двух центральных значений). - **Размах (R):** 10 - 1 = 9. - **Среднее (¯X):** (1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10) / 18 = 5,06. 2) **Найти моду, медиану, среднее и математическое ожидание:** Данные: - Х: 5, 8, 1, 2, 0, 9 - М: 1, 3, 6, 1, 2, 1 - **Мода (Мо):** 1 (в выборе М). - **Медиана (Ме) для Х:** Среднее значение после сортировки: 1, 2, 5, 8, 9 → Ме = 5. - **Среднее (¯X):** (5 + 8 + 1 + 2 + 0 + 9) / 6 = 25 / 6 ≈ 4,17. - **Математическое ожидание (M(X)):** M(X) = (5*1 + 8*3 + 1*6 + 2*1 + 0*2 + 9*1) = 5 + 24 + 6 + 2 + 0 + 9 = 46. 3) **Найти моду, медиану, дисперсию и среднее квадратичное отклонение:** Данные: - Х: 1, 2, 5, 4, 3, 0 - М: 2, 3, 1, 6, 8, 4 - **Мода (Мо) для М:** 1, 2, 3, 4, 6, 8 (все уникальны, нет моды). - **Медиана (Ме) для Х:** Упорядочим выборку: 0, 1, 2, 3, 4, 5 → Ме = (2+3)/2 = 2,5. - **Дисперсия (D):** - Среднее (¯X) = (0+1+2+3+4+5) / 6 = 15/6 = 2.5 - Отклонения: -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5 - Квадраты: 6.25, 2.25, 0.25, 0.25, 2.25, 6.25 → D = (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) / 6 = 17.5 / 6 ≈ 2.92. - **Среднее квадратичное отклонение (σ):** σ = √2.92 ≈ 1.71. 4) **Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х):** Данные: - хi: 1, 6, 8, 2, 3 - рi: 0.2, 0.3, 0.1, 0.3, 0.1 - **Мат. ожидание (M(X)):** M(X) = 1*0.2 + 6*0.3 + 8*0.1 + 2*0.3 + 3*0.1 = 0.2 + 1.8 + 0.8 + 0.6 + 0.3 = 3.7. - **Дисперсия (D(X)):** - Сначала находим отклонения от среднего: - 1 - 3.7, 6 - 3.7, 8 - 3.7, 2 - 3.7, 3 - 3.7 - Квадраты отклонений: (2.7)^2, (2.3)^2, (4.3)^2, (1.7)^2, (0.7)^2 - D(X) = (2.7^2*0.2 + 2.3^2*0.3 + 4.3^2*0.1 + 1.7^2*0.3 + 0.7^2*0.1) - = (7.29*0.2 + 5.29*0.3 + 18.49*0.1 + 2.89*0.3 + 0.49*0.1) - = 1.458 + 1.587 + 1.849 + 0.867 + 0.049 = 5.81. - **Среднее квадратичное отклонение (σ):** σ = √5.81 ≈ 2.41. 5) **Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 230 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,07:** - **Математическое ожидание (M):** M = n * p = 230 * 0.07 = 16.1 (ожидаемое количество выигрышей). - **Дисперсия (D):** D = n * p * (1 - p) = 230 * 0.07 * (1 - 0.07) = 230 * 0.07 * 0.93 = 15.053. Эти шаги помогут вам в понимании концепций статистики и в выполнении практической работы! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!