Выпуклый многоугольник. Элементы выпуклого многоугольника. . Сумма углом выпуклого многоугольника. (доказать) ( 8 класс )
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, в котором все его углы меньше 180 градусов, а также каждая из его сторон не пересекается ни с одной другой стороной (кроме соседних).
Элементы выпуклого многоугольника
- Вертикали — это точки, в которых сходятся стороны многоугольника. Они также называются вершинами.
- Стороны — это отрезки, соединяющие вершины многоугольника.
- Углы — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника.
Сумма углов выпуклого многоугольника
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с \( n \) вершинами (или сторонами) вычисляется по формуле:
\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Доказательство
Разделение на треугольники:
- В любой выпуклый многоугольник можно провести диагонали так, чтобы разбить его на треугольники.
- Для этого проведем диагонали из одной из вершин многоугольника ко всем остальным непоследовательным вершинам.
Количество треугольников:
- В результате мы получим \( n - 2 \) треугольников, так как из одной вершины можно провести диагонали к \( n - 3 \) другим вершинам (вычтем саму эту вершину и две соседние).
Сумма углов треугольника:
- Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( 180^\circ \).
Сумма углов многоугольника:
- Следовательно, сумма всех углов многоугольника будет равна: \[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с \( n \) вершинами равна \((n - 2) \cdot 180^\circ\).
Пример
Например, для треугольника (\( n = 3 \)): \[ S = (3 - 2) \cdot 180^\circ = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ \]
Для четырехугольника (\( n = 4 \)): \[ S = (4 - 2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \]
Таким образом, формула справедлива для любых выпуклых многоугольников.
