Выпуклый многоугольник. Элементы выпуклого многоугольника. . Сумма углом выпуклого многоугольника. (доказать) ( 8 класс )

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, в котором все его углы меньше 180 градусов, а также каждая из его сторон не пересекается ни с одной другой стороной (кроме соседних). ### Элементы выпуклого многоугольника 1. **Вертикали** — это точки, в которых сходятся стороны многоугольника. Они также называются вершинами. 2. **Стороны** — это отрезки, соединяющие вершины многоугольника. 3. **Углы** — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. ### Сумма углов выпуклого многоугольника Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с \( n \) вершинами (или сторонами) вычисляется по формуле: \[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \] #### Доказательство 1. **Разделение на треугольники**: - В любой выпуклый многоугольник можно провести диагонали так, чтобы разбить его на треугольники. - Для этого проведем диагонали из одной из вершин многоугольника ко всем остальным непоследовательным вершинам. 2. **Количество треугольников**: - В результате мы получим \( n - 2 \) треугольников, так как из одной вершины можно провести диагонали к \( n - 3 \) другим вершинам (вычтем саму эту вершину и две соседние). 3. **Сумма углов треугольника**: - Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( 180^\circ \). 4. **Сумма углов многоугольника**: - Следовательно, сумма всех углов многоугольника будет равна: \[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \] Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с \( n \) вершинами равна \((n - 2) \cdot 180^\circ\). ### Пример Например, для треугольника (\( n = 3 \)): \[ S = (3 - 2) \cdot 180^\circ = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ \] Для четырехугольника (\( n = 4 \)): \[ S = (4 - 2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \] Таким образом, формула справедлива для любых выпуклых многоугольников.