17 Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба. Ответ: Тренировочный вариант №13 6/7 22 Постройте график функции y = |x|(x + 1) - 6x.…
17 Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба. Ответ: Тренировочный вариант №13 6/7 22 Постройте график функции y = |x|(x + 1) - 6x. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. 23 Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 40. 24 На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции. 25 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём ZAKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Чтобы решить задачу о ромбе с периметром 24 и углом 30°, начнём с нахождения длины стороны ромба.
Найдите длину стороны ромба: Поскольку периметр ромба равен 24, а ромб имеет 4 равные стороны, длина одной стороны будет: \[ a = \frac{24}{4} = 6. \]
Найдите площадь ромба: Площадь ромба можно вычислить по формуле: \[ S = a^2 \cdot \sin(\alpha), \] где \(a\) — длина стороны, а \(\alpha\) — угол между сторонами. Подставим известные значения: \[ S = 6^2 \cdot \sin(30°). \]
Зная, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), получим: \[ S = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18. \]
Таким образом, площадь ромба составляет 18 квадратных единиц.
Теперь перейдем к следующей задаче.
Задача 22: Построим график функции \(y = |x|(x + 1) - 6x\).
Распределим функцию на частях: \[ y = |x|(x + 1) - 6x. \] Это значит, что функция будет иметь разные виды в зависимости от знака \(x\).
Для \(x \geq 0\): Здесь \(|x| = x\), и функция становится: \[ y = x(x + 1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x. \]
Для \(x < 0\): Здесь \(|x| = -x\), и функция будет: \[ y = -x(x + 1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x. \]
Теперь, чтобы понять, при каких значениях \(t\) прямая \(y = t\) будет иметь ровно две общие точки с графиком, необходимо рассмотреть условия парабол.
Задача 23: Чтобы найти боковую сторону \(AB\) трапеции \(ABCD\), с углами \(45°\) и \(120°\), когда \(CD = 40\):
Используем свойства трапеции и прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной и проекцией диагонали на основание. Обозначим боковую сторону как \(AB = x\).
Анализируя углы, можем использовать синусы для определения высоты \(h\): \[ h = x \cdot \sin(45°) = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Теперь выражаем \(CD\): \[ AD + AB + BC + CD = 40 + 2h \text{, используем высоту}. \]
Этот процесс можно использовать для дальнейших вычислений.
Задача 24: В трапеции ABCD, доказать, что сумма площадей треугольников \(BEC\) и \(AED\) равна половине площади трапеции. Для этого:
- Площадь трапеции выражается как: \[ S_{trapezium} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot h. \]
- Каждый треугольник можно выразить через половину основания и высоту.
Задача 25: Вписанный четырёхугольник \(ABCD\) имеет стороны \(AB = 25\) и \(CD = 16\), с углом \(ZAKB = 60°\). Радиус описанной окружности находится по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S}, \] где \(S\) — площадь четырёхугольника, которую можно найти, зная длины диагоналей и угол.
Разрешив каждую из задач по порядку и применяя соответствующие формулы, вы сможете получить нужные результаты. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!
