Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями, можно воспользоваться свойством, что если корни квадратного уравнения равны ( x_1 ) и ( x_2 ), то уравнение можно записать в виде:
[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 ]
В данном случае, корни уравнения равны 9 и ( \frac{1}{9} ). Подставим их в формулу:
[ (x - 9)\left(x - \frac{1}{9}\right) = 0 ]
Теперь нужно раскрыть скобки:
Сначала умножим ( x ) на каждую из скобок:
[ x^2 - \frac{1}{9}x - 9x + 9 \cdot \frac{1}{9} ]
Объединим все термины:
[ x^2 - \frac{1}{9}x - 9x + 1 ]
Приведём подобные:
[ x^2 - \left(9 + \frac{1}{9}\right)x + 1 ]
Здесь ( 9 + \frac{1}{9} = \frac{81}{9} + \frac{1}{9} = \frac{82}{9} ).
Итак, уравнение можно записать как:
[ x^2 - \frac{82}{9}x + 1 = 0 ]
Для удобства, можно умножить всё уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей:
[ 9x^2 - 82x + 9 = 0 ]
Таким образом, квадратное уравнение, корни которого равны 9 и ( \frac{1}{9} ), выглядит так:
[ 9x^2 - 82x + 9 = 0 ]
