В параллелограмме ABCD угол ADC = 120°, AD = 8 см, DC = 6 см. Из вершины С параллелограмма к его плоскости проведен перпендикуляр СР, равный 9 см. Найдите величину двугранного угла между плоскостями APD и ABC.

В данном задаче мы имеем параллелограмм ABCD с углом ADC = 120°, стороны AD = 8 см и DC = 6 см. Из вершины C проведён перпендикуляр CR, равный 9 см. Необходимо найти величину двугранного угла между плоскостями APD и ABC. Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойствами векторов и геометрическими представлениями. 1. **Определение плоскостей**: - Плоскость ABC содержит точки A, B и C. - Плоскость APD содержит точки A, P и D. 2. **Векторное представление**: - Сначала построим координатную систему. Положим: - A(0, 0, 0) - D(8, 0, 0) (по оси x) - C(8, 6, 0) (высота 6 см по оси y) - B(0, 6, 0) (по оси y, т.к. ABCD параллелограмм) - Р(8, 6, 9) (над точкой C, по оси z высота 9 см) 3. **Векторы нормали**: - Найдём векторы нормали для плоскостей ABC и APD. - Для плоскости ABC нормаль можно взять, например, из векторов AB и AC: - AB = B - A = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0) - AC = C - A = (8, 6, 0) - (0, 0, 0) = (8, 6, 0) - Перпендикулярный вектор (нормаль) к плоскости ABC: N1 = AB × AC. - Для плоскости APD можно использовать векторы AP и AD: - AP = P - A = (8, 6, 9) - (0, 0, 0) = (8, 6, 9) - AD = D - A = (8, 0, 0) - (0, 0, 0) = (8, 0, 0) - Перпендикулярный вектор (нормаль) к плоскости APD: N2 = AP × AD. 4. **Вычисление нормалей**: - Вычислим N1: - N1 = (0, 6, 0) × (8, 6, 0) = (0*0 - 6*0, 0*8 - 0*0, 0*6 - 6*8) = (0, 0, -48). - Вычислим N2: - N2 = (8, 6, 9) × (8, 0, 0) = (6*0 - 9*0, 9*8 - 0*8, 8*0 - 6*8) = (0, 72, -48). 5. **Нахождение угла между нормальными**: - Используем скалярное произведение для нахождения угол θ между векторами N1 и N2: - cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|). - Нормы: - |N1| = √(0^2 + 0^2 + (-48)^2) = 48. - |N2| = √(0^2 + 72^2 + (-48)^2) = √(0 + 5184 + 2304) = √7488. - Скалярное произведение: - N1 • N2 = 0*0 + 0*72 + (-48)(-48) = 2304. Теперь подставим значения в формулу: cos(θ) = 2304 / (48 * √7488). Решив это, мы можем найти угол θ, а затем через арккосинус получить искомый двугранный угол. Таким образом, в зависимости от получившегося значения косинуса, можно рассчитать величину двугранного угла между плоскостями APD и ABC.