Давайте разберёмся с задачей. У нас есть треугольник ABC, где центр описанной окружности лежит на стороне AB, радиус окружности равен 15, а сторона AC равна 24. Нам нужно найти длину стороны BC.
Для начала напомним, что радиус описанной окружности (R) связан со сторонами треугольника и его площадью (S) следующим образом:
[ R = \frac{abc}{4S} ]
где a, b и c — это длины сторон треугольника.
Также есть важная теорема: если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром описанной окружности. Это означает, что угол ACB будет равен 90 градусам, и ABC будет прямоугольным треугольником.
Так как AB является диаметром, мы можем использовать теорему Пифагора:
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
Обозначим:
- AC = 24
- R = 15 (известный радиус)
Для начала найдем длину стороны AB. Поскольку радиус описанной окружности равен 15, длина диаметра (который равен стороне AB) будет:
[ AB = 2R = 2 \times 15 = 30 ]
Теперь подставим значения в формулу Пифагора:
[ 30^2 = 24^2 + BC^2 ]
Рассчитаем каждую сторону:
[ 30^2 = 900 ]
[ 24^2 = 576 ]
Теперь подставим это в уравнение:
[ 900 = 576 + BC^2 ]
Вычтем 576 из обеих сторон:
[ BC^2 = 900 - 576 ]
[ BC^2 = 324 ]
Теперь найдём BC, взяв квадратный корень:
[ BC = \sqrt{324} = 18 ]
Итак, длина стороны BC равна 18.
