Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. В данном случае система включает кинетическую и потенциальную энергию.
Начальная потенциальная энергия (U) мальчика на высоте можно найти по формуле:
[ U = mgh ]
где:
- ( m ) — масса мальчика (которая не влияет на результат, если мы ищем скорость),
- ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )),
- ( h ) — высота (в данном случае ( 2 , \text{м} )).
Начальная кинетическая энергия (К) мальчика:
[ K = \frac{1}{2} mv^2 ]
где ( v ) — скорость в начале спуска (( 1.5 , \text{м/с} )).
Когда мальчик достигнет дна спуска, вся потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую, поэтому полная энергия в начале должна быть равна полной энергии в конце:
[ U_{\text{нач}} + K_{\text{нач}} = K_{\text{конеч}} ]
Подставим значения:
Найдите начальную потенциальную энергию:
[ U = mgh = mg \cdot 2 ]
(сохраняем ( m ) для упрощенной выразимости).
Найдите начальную кинетическую энергию:
[ K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m \cdot (1.5)^2 = \frac{1}{2} m \cdot 2.25 ]
В конечном состоянии потенциальной энергии нет, только кинетическая:
[ K_{\text{конеч}} = \frac{1}{2} mv^2_{\text{конеч}} ]
Теперь у нас есть уравнение:
[ mg \cdot 2 + \frac{1}{2} m \cdot 2.25 = \frac{1}{2} mv^2_{\text{конеч}} ]
Мы можем сократить ( m ) из всех членов, так как оно не равно нулю:
[ g \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2.25 = \frac{1}{2} v^2_{\text{конеч}} ]
Теперь подставим значение ( g ):
[ 9.81 \cdot 2 + 1.125 = \frac{1}{2} v^2_{\text{конеч}} ]
Упрощаем:
[ 19.62 + 1.125 = \frac{1}{2} v^2_{\text{конеч}} ]
[ 20.745 = \frac{1}{2} v^2_{\text{конеч}} ]
Умножаем обе стороны на 2:
[ 41.49 = v^2_{\text{конеч}} ]
Теперь находим скорость:
[ v_{\text{конеч}} = \sqrt{41.49} \approx 6.43 , \text{м/с} ]
Таким образом, скорость мальчика в конце спуска будет примерно ( 6.43 , \text{м/с} ).
