Чтобы найти производную функции ( y = \frac{2x - 5x^3}{1 - 6x^2} ), мы будем использовать правило дифференцирования дроби, известное как правило Лейбница. Это правило гласит, что если у нас есть дробь ( \frac{u}{v} ), то её производная ( y' ) вычисляется по формуле:
[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
Где ( u = 2x - 5x^3 ) и ( v = 1 - 6x^2 ).
Сначала найдем производные ( u' ) и ( v' ):
- ( u' = \frac{d}{dx}(2x - 5x^3) = 2 - 15x^2 )
- ( v' = \frac{d}{dx}(1 - 6x^2) = -12x )
Теперь подставим ( u ), ( v ), ( u' ) и ( v' ) в формулу:
[
y' = \frac{(2 - 15x^2)(1 - 6x^2) - (2x - 5x^3)(-12x)}{(1 - 6x^2)^2}
]
Теперь упростим числитель:
Перемножим ( (2 - 15x^2)(1 - 6x^2) ):
- ( 2(1) - 2(6x^2) - 15x^2(1) + 15x^2(6x^2) )
- ( 2 - 12x^2 - 15x^2 + 90x^4 = 2 - 27x^2 + 90x^4 )
Перемножим ( (2x - 5x^3)(-12x) ):
- ( -12x(2x) + 12x(5x^3) = -24x^2 + 60x^4 )
Теперь полностью подставим числитель:
[
y' = \frac{(2 - 27x^2 + 90x^4) + (24x^2 - 60x^4)}{(1 - 6x^2)^2}
]
Упростим числитель:
[
y' = \frac{2 - 27x^2 + 24x^2 + 90x^4 - 60x^4}{(1 - 6x^2)^2} = \frac{2 - 3x^2 + 30x^4}{(1 - 6x^2)^2}
]
Итак, производная функции ( y ) равна:
[
y' = \frac{2 - 3x^2 + 30x^4}{(1 - 6x^2)^2}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите подробнее разобрать какую-либо часть, не стесняйтесь спрашивать!