Чтобы найти угол A в треугольнике ABC, где угол C равен 135°, а стороны AB и AC даны, можно воспользоваться теоремой косинусов.
Согласно теореме косинусов, для треугольника ABC выполняется следующее уравнение:
[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]
Где:
- ( c ) — сторона, противолежащая углу C (в нашем случае это сторона AB),
- ( a ) — сторона, противолежащая углу A (сторона AC),
- ( b ) — сторона, противолежащая углу B (в данном случае это сторона BC, которую мы пока не знаем).
Находим значение для стороны BC. Поскольку у нас есть AB = ( 2\sqrt{2} ), AC = 2, и угол C = 135°, то можем подставить известные значения:
Обозначим:
- ( a = AC = 2 )
- ( c = AB = 2\sqrt{2} )
- ( C = 135° )
По теореме косинусов:
[
(2\sqrt{2})^2 = 2^2 + b^2 - 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \cos(135°)
]
Зная, что ( \cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ):
[
8 = 4 + b^2 + 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
8 = 4 + b^2 + 2b\sqrt{2}
]
[
0 = b^2 + 2b\sqrt{2} - 4
]
Это квадратное уравнение относительно b. Используем дискриминант для его решения:
[
D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 8 + 16 = 24
]
Находим корни уравнения по формуле:
[
b = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{24}}{2} = -\sqrt{2} \pm \sqrt{6}
]
Мы берем положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной:
[
b = -\sqrt{2} + \sqrt{6}
]
Теперь, когда мы имеем значение b, можем использовать теорему синусов для нахождения угла A:
[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
]
В нашем случае:
[
\frac{2}{\sin(A)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(135°)}
]
Зная, что ( \sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставим это в уравнение:
[
\frac{2}{\sin(A)} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
]
Упрощая правую часть:
[
\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4
]
Таким образом, получается:
[
\frac{2}{\sin(A)} = 4
]
Отсюда:
[
\sin(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
Следовательно, угол A равен:
[
A = 30°
]
Таким образом, угол A равен 30°.
