Треугольник ABC угол C =135° AB=2√2 AC=2 найти:угол A

Чтобы найти угол A в треугольнике ABC, где угол C равен 135°, а стороны AB и AC даны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно теореме косинусов, для треугольника ABC выполняется следующее уравнение: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] Где: - \( c \) — сторона, противолежащая углу C (в нашем случае это сторона AB), - \( a \) — сторона, противолежащая углу A (сторона AC), - \( b \) — сторона, противолежащая углу B (в данном случае это сторона BC, которую мы пока не знаем). Находим значение для стороны BC. Поскольку у нас есть AB = \( 2\sqrt{2} \), AC = 2, и угол C = 135°, то можем подставить известные значения: 1. Обозначим: - \( a = AC = 2 \) - \( c = AB = 2\sqrt{2} \) - \( C = 135° \) 2. По теореме косинусов: \[ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 + b^2 - 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \cos(135°) \] Зная, что \( \cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ 8 = 4 + b^2 + 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 8 = 4 + b^2 + 2b\sqrt{2} \] \[ 0 = b^2 + 2b\sqrt{2} - 4 \] Это квадратное уравнение относительно b. Используем дискриминант для его решения: \[ D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 8 + 16 = 24 \] Находим корни уравнения по формуле: \[ b = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{24}}{2} = -\sqrt{2} \pm \sqrt{6} \] Мы берем положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной: \[ b = -\sqrt{2} + \sqrt{6} \] Теперь, когда мы имеем значение b, можем использовать теорему синусов для нахождения угла A: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] В нашем случае: \[ \frac{2}{\sin(A)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(135°)} \] Зная, что \( \sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим это в уравнение: \[ \frac{2}{\sin(A)} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Упрощая правую часть: \[ \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \] Таким образом, получается: \[ \frac{2}{\sin(A)} = 4 \] Отсюда: \[ \sin(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Следовательно, угол A равен: \[ A = 30° \] Таким образом, угол A равен 30°.