.

Привет! Давай разберёмся с индивидуальными задачами из теста. У тебя есть выбор из 10 задач, и нужно решить ту, номер которой соответствует последней цифре зачетки. Предположим, тебе нужно решить, например, задачу 7:

В функции \(u = \ln(1 - x^2)\) нужно найти интервалы монотонности и экстремумы.

Давай вначале найдём производную функции \(u\):

1. \(u'(x) = \frac{d}{dx} \ln(1 - x^2) = \frac{-2x}{1 - x^2}\).

Теперь определим:

• Знаки производной \(u'(x)\) показывают, где функция убывает и возрастает.
• Интервалы монотонности: функция возрастает, если \(u'(x) > 0\), и убывает, если \(u'(x) < 0\).

Найдём, где \(u'(x) = 0\) или не существует:

• \(u'(x) = 0\) при \(x = 0\).
• Производная не существует при \(x = \pm1\).

Теперь разбиваем множество \(x\) на интервалы:

• На \(-1 < x < 0\), \(u'(x) > 0\), значит, функция возрастает.
• На \(0 < x < 1\), \(u'(x) < 0\), значит, функция убывает.

В точке \(x = 0\) обнаружим экстремум:

• При переходе через \(x = 0\) функция меняет знак производной с плюса на минус, стало быть, в этой точке максимум.

Итак, \(x=0\) – точка максимума.

Если у тебя есть другие задачи, пиши, и мы их тоже разберем!