Чтобы найти длину стороны AB в треугольнике ABC, где угол C равен 60°, сторона AC равна 15 см, а угол A равен 30°, можно воспользоваться теоремой синусов.
Сначала запишем теорему синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Где:
- (a) — сторона, противоположная углу A (в нашем случае AB),
- (b) — сторона, противоположная углу B (сторона BC),
- (c) — сторона, противоположная углу C (сторона AC).
Сначала найдем угол B. В треугольнике сумма углов равна 180°. Тогда угол B можно найти следующим образом:
[
B = 180° - A - C = 180° - 30° - 60° = 90°
]
Теперь у нас есть весь набор углов: A = 30°, B = 90°, C = 60°. Теперь можем использовать теорему синусов.
Поскольку угол B — прямой, мы можем использовать соотношение в прямоугольном треугольнике:
[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AB}{\sin 60°} = \frac{15}{\sin 30°}
]
Значения синусов:
- (\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2})
- (\sin 30° = \frac{1}{2})
Подставляем их в уравнение:
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15}{\frac{1}{2}}
]
Упростим правую часть:
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 15 \cdot 2 = 30
]
Теперь умножим обе части на (\frac{\sqrt{3}}{2}):
[
AB = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}
]
Таким образом, длина стороны AB составляет ( 15\sqrt{3} ) см.
