Давайте обозначим ромб как (ABCD), где (A) и (C) — тупые углы, а (B) и (D) — острые углы. Обозначим длины диагоналей ромба как (d_1) и (d_2), где (d_1) — это меньшая диагональ, а (d_2) — большая диагональ.
Сторона ромба (AB = BC = CD = DA = 18 , \text{см}). Высота, проведенная из тупого угла (A), делит сторону (BC) пополам, значит, точка пересечения высоты с (BC) — это точка (M), где (BM = MC = \frac{d_2}{2}).
По теореме Пифагора для треугольника (ABM) мы можем записать:
[
AB^2 = AM^2 + BM^2
]
Где (AM) — это высота, а (BM = \frac{d_2}{2}). Подставляем известные значения:
[
18^2 = AM^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2
]
Далее, в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, и можно использовать теорему Пифагора для других треугольников. Обозначим меньшую диагональ как (d_1), тогда:
[
AB^2 = AM^2 + \left( \frac{d_1}{2} \right)^2
]
Теперь у нас есть система уравнений. Соединим эти уравнения.
Из первого уравнения:
[
AM^2 = 18^2 - \left( \frac{d_2}{2} \right)^2
]
Из второго уравнения:
[
AM^2 = 18^2 - \left( \frac{d_1}{2} \right)^2
]
Приравняем (AM^2):
[
18^2 - \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 18^2 - \left( \frac{d_1}{2} \right)^2
]
Сократив (18^2) и перенеся все на одну сторону, получим:
[
\left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2
]
Это означает, что (d_1 = d_2).
Мы знаем, что в ромбе выполняется следующее соотношение для диагоналей:
[
d_1^2 + d_2^2 = 4a^2
]
Где (a) — сторона ромба.
Так как мы пришли к равенству диагоналей, то:
[
d_1^2 + d_1^2 = 4(18^2)
]
((d_2 = d_1)):
[
2d_1^2 = 4(324)
]
[
d_1^2 = 648
]
[
d_1 = \sqrt{648} = \sqrt{36 \cdot 18} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}
]
Таким образом, меньшая диагональ ромба равна
[
d_1 \approx 25.46 , \text{см}.
]
