Высота ромба, проведённая из вершины его тупого уг- ла, делит сторону ромба пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его сторона равна 18 см.

Давайте обозначим ромб как \(ABCD\), где \(A\) и \(C\) — тупые углы, а \(B\) и \(D\) — острые углы. Обозначим длины диагоналей ромба как \(d_1\) и \(d_2\), где \(d_1\) — это меньшая диагональ, а \(d_2\) — большая диагональ.

Сторона ромба \(AB = BC = CD = DA = 18 \, \text{см}\). Высота, проведенная из тупого угла \(A\), делит сторону \(BC\) пополам, значит, точка пересечения высоты с \(BC\) — это точка \(M\), где \(BM = MC = \frac{d_2}{2}\).

По теореме Пифагора для треугольника \(ABM\) мы можем записать:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]

Где \(AM\) — это высота, а \(BM = \frac{d_2}{2}\). Подставляем известные значения:

\[ 18^2 = AM^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \]

Далее, в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, и можно использовать теорему Пифагора для других треугольников. Обозначим меньшую диагональ как \(d_1\), тогда:

\[ AB^2 = AM^2 + \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 \]

Теперь у нас есть система уравнений. Соединим эти уравнения.

Из первого уравнения:

\[ AM^2 = 18^2 - \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \]

Из второго уравнения:

\[ AM^2 = 18^2 - \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 \]

Приравняем \(AM^2\):

\[ 18^2 - \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 18^2 - \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 \]

Сократив \(18^2\) и перенеся все на одну сторону, получим:

\[ \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 \]

Это означает, что \(d_1 = d_2\).

Мы знаем, что в ромбе выполняется следующее соотношение для диагоналей:

\[ d_1^2 + d_2^2 = 4a^2 \]

Где \(a\) — сторона ромба.

Так как мы пришли к равенству диагоналей, то:

\[ d_1^2 + d_1^2 = 4(18^2) \]

(\(d_2 = d_1\)):

\[ 2d_1^2 = 4(324) \]

\[ d_1^2 = 648 \]

\[ d_1 = \sqrt{648} = \sqrt{36 \cdot 18} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \]

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна

\[ d_1 \approx 25.46 \, \text{см}. \]