.

Привет! Давай вместе решим задачу под номером 3 на фотографии. Задача: 3. Найдите все значения параметра \( a/b \), при которых уравнение \( 9z^3 - 36abz + (a + b)^3 = 0 \) имеет корни. Решение: Данное уравнение похоже на кубическую функцию вида \( cz^3 + bz^2 + az + d = 0 \). В твоем случае \( b^2 \) отсутствует, и мы можем попытаться применить теорему Виета для кубических уравнений. Теорема Виета гласит, что сумма корней кубического уравнения равна члену \( b \) (коэффициент при \( z^2 \)) с противоположным знаком, деленному на \( c \) (коэффициент при \( z^3 \)), но так как у нас нет члена с \( z^2 \), сумма корней должна быть равна нулю. Значит, если уравнение имеет корни, то есть как минимум один действительный корень \( z_1 \) и либо два действительных корня \( z_2 \) и \( z_3 \), либо пара комплексно-сопряженных корней таких, что их сумма вместе с \( z_1 \) равна 0. Поскольку у нас нет среднего члена, то есть члена с \( z^2 \), кубическое уравнение легко разложить на множители, сделав замену \( z = t \sqrt[3]{36ab} \). Теперь мы видим, что если \( z_1 = t_1 \sqrt[3]{36ab} \), то два других корня будут вида \( t_2 \sqrt[3]{36ab} \) и \( t_3 \sqrt[3]{36ab} \), и их сумма должна быть равна нулю. Отсюда следует, что \( t_1 + t_2 + t_3 = 0 \). Следовательно, корни \( z \) будут иметь вид \( z = \sqrt[3]{(a + b)^3} \), \( z = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{(a + b)^3} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{(a + b)^3} \) и \( z = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{(a + b)^3} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{(a + b)^3} \). Это возможно только если \( a + b \neq 0 \), так как иначе корни будут нулевыми и их сумма не сможет составить ноль. Таким образом, уравнение имеет корни при любых \( a/b \), кроме случаев, когда \( a + b = 0 \), то есть когда \( a/b = -1 \). Это и будет наш ответ: Ответ: Уравнение имеет корни при всех \( a/b \), кроме \( a/b = -1 \). Надеюсь, это объяснение помогло тебе понять, как решать подобного рода задачи. Если у тебя есть вопросы или другие задачи для решения – обращайся!