Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. найдите эти числа

Давайте решим задачу о произведении двух последовательных натуральных чисел, которое больше их суммы на 109. Обозначим два последовательных натуральных числа как \( n \) и \( n + 1 \). 1. **Запишем произведение этих чисел**: \[ n(n + 1) = n^2 + n \] 2. **Запишем сумму этих чисел**: \[ n + (n + 1) = 2n + 1 \] 3. **Согласно условию задачи, произведение больше суммы на 109**: \[ n(n + 1) = (n + (n + 1)) + 109 \] Подставим выражения для произведения и суммы: \[ n^2 + n = 2n + 1 + 109 \] 4. **Упрощаем уравнение**: \[ n^2 + n = 2n + 110 \] 5. **Переносим все в одну сторону**: \[ n^2 + n - 2n - 110 = 0 \] Это упрощается до: \[ n^2 - n - 110 = 0 \] 6. **Теперь применим формулу решения квадратного уравнения**: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -110 \): \[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 440}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm 21}{2} \] 7. **Находим два возможных значения**: - \( n = \frac{22}{2} = 11 \) - \( n = \frac{-20}{2} = -10 \) (это значение не подходит, так как оно не является натуральным числом) 8. **Следовательно, натуральные числа**: Таким образом, мы находим, что \( n = 11 \) и следовательно, следующее число: \[ n + 1 = 12 \] Ответ: искомыми числами являются 11 и 12.