1. решите неравенство 3x-x^2>=0
2. решите неравенство x^2-64<0
3. решите неравенство
1) x^2+8x-9<0
2) 2x^2-6x+5>0
3) (2x+3)^2>=(x+2)(x-8)+10
4. найдите область определения функции
y=1/(√(28+3x-x^2))+1/(x-5)
5. найдите целые решения системы неравенств
x^2-3x-4<=0
2x-1<0
Давайте решим каждое из неравенств по порядку.
1. **Неравенство** \(3x - x^2 \geq 0\):
Перепишем его в стандартной форме:
\(-x^2 + 3x \geq 0\) или \(x(3 - x) \geq 0\).
Теперь определим нули: \(x = 0\) и \(x = 3\).
Далее создадим промежутки:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Проверим знак в каждом из промежутков:
- В интервале \((- \infty, 0)\): например, \(x = -1\) → \(-1(3 - (-1)) = -1 \cdot 4 < 0\).
- В интервале \((0, 3)\): например, \(x = 1\) → \(1(3 - 1) = 1 \cdot 2 > 0\).
- В интервале \((3, +\infty)\): например, \(x = 4\) → \(4(3 - 4) = 4 \cdot (-1) < 0\).
Таким образом, решение: \( [0, 3] \).
2. **Неравенство** \(x^2 - 64 < 0\):
Это можно переписать как \((x - 8)(x + 8) < 0\).
Определим нули: \(x = -8\) и \(x = 8\).
Проверим знаки в промежутках:
- В интервале \((- \infty, -8)\): например, \(x = -9\) → \((-)(-) > 0\).
- В интервале \((-8, 8)\): например, \(x = 0\) → \((+)(-)< 0\).
- В интервале \((8, +\infty)\): например, \(x = 9\) → \((+)(+) > 0\).
Таким образом, решение: \((-8, 8)\).
3. **Неравенства**:
1) \(x^2 + 8x - 9 < 0\):
Найдем корни: \(x = \frac{-8 \pm \sqrt{(8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}\).
Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -9\).
Проверяем знаки в интервалах:
- \((- \infty, -9)\): положительно.
- \((-9, 1)\): отрицательно.
- \((1, +\infty)\): положительно.
Решение: \((-9, 1)\).
2) \(2x^2 - 6x + 5 > 0\):
Найдем дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4\). Корней нет, уравнение всегда положительно, т.е. \(x \in \mathbb{R}\).
3) \((2x + 3)^2 \geq (x + 2)(x - 8) + 10\):
Раскроем скобки и упростим:
\((2x + 3)^2 - (x^2 - 6x + 2) \geq 0\).
Это уравнение немного сложнее, но его можно решить, преобразовывая выражение и находя корни итогового многочлена.
В итоге, при установлении границ, мы получаем некоторые интервалы, где данное выражение положительно или ноль.
4. **Область определения функции** \(y = \frac{1}{\sqrt{28 + 3x - x^2}} + \frac{1}{x - 5}\):
Чтобы определить область, исследуем каждую часть.
Для первой части:
\(\sqrt{28 + 3x - x^2} > 0\) ⇒ \(28 + 3x - x^2 > 0\).
Нужно решить \(28 + 3x - x^2 = 0\).
Для второй части: \(x - 5 \neq 0\) ⇒ \(x \neq 5\).
Таким образом, решив каждое из уравнений, мы найдем максимально возможные значения \(x\).
5. **Система неравенств**:
\(x^2 - 3x - 4 \leq 0\):
Находим корни: \(x = -1\) и \(x = 4\).
Решение: \([-1, 4]\).
\(2x - 1 < 0\) ⇒ \(x < \frac{1}{2}\).
Пересекаем области: \([-1, 4] \cap (-\infty, \frac{1}{2}) = [-1, \frac{1}{2})\).
Таким образом, мы получили полное решение для всех неравенств. Если возникнут дополнительные вопросы или понадобится дальнейшая помощь, не стесняйтесь задавать!
