- Работа силы трения до полной остановки автомобиля:
Начнем с расчета начальной кинетической энергии (КЭ) автомобиля. Кинетическая энергия определяется формулой:
[ KE = \frac{1}{2} mv^2 ]
где ( m ) — масса автомобиля (в килограммах), ( v ) — скорость (в м/с).
Масса автомобиля: 4 т = 4000 кг.
Скорость: 20 м/с.
Подставляем значения:
[ KE = \frac{1}{2} \times 4000 , \text{кг} \times (20 , \text{м/с})^2 = \frac{1}{2} \times 4000 \times 400 = 8000000 , \text{Дж} ]
Работа, совершаемая силой трения, равна начальной кинетической энергии, поскольку вся энергия будет превращена в работу силы трения до остановки:
[ A = 8000000 , \text{Дж} ]
Таким образом, работа силы трения составит 8 миллионов джоулей.
- Определите высоту, на которой кинетическая энергия мяча равна его потенциальной энергии:
Кинетическая энергия (КЭ) мяча можно записать как:
[ KE = \frac{1}{2} mv^2 ]
Потенциальная энергия (ПЭ) определяется как:
[ PE = mgh ]
где ( m ) — масса мяча, ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²), ( h ) — высота.
В момент, когда КЭ равна ПЭ, имеем:
[ \frac{1}{2} mv^2 = mgh ]
Сокращаем массу ( m ):
[ \frac{1}{2} v^2 = gh ]
Теперь подставим скорость мяча, равную 16 м/с:
[ \frac{1}{2} (16)^2 = 9.81h ]
Решаем уравнение:
[ 128 = 9.81h ]
[ h = \frac{128}{9.81} \approx 13.05 , \text{м} ]
Таким образом, высота, на которой КЭ равна ПЭ, составляет примерно 13.05 м.
- Средняя сила, действующая на плечо охотника при выстреле:
Сначала рассчитаем изменение импульса ( \Delta p ):
[ \Delta p = mv ]
где ( m = 0.04 , \text{кг} ) (масса дроби), ( v = 300 , \text{м/с} ).
[ \Delta p = 0.04 \times 300 = 12 , \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Средняя сила ( F ) рассчитывается по формуле:
[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} ]
где ( \Delta t = 0.05 , \text{с} ):
[ F = \frac{12}{0.05} = 240 , \text{Н} ]
Таким образом, средняя сила, действующая на плечо охотника, составит 240 Н.
- Скорость пушки при выстреле:
При стрельбе снаряда, направленного под углом, применяем закон сохранения импульса. Начальный импульс равен нулю, так как пушка покоится.
Импульс снаряда:
[ p_{снаряда} = mv = 100 \times 300 = 30000 , \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Компоненты импульса по осям:
- Горизонтальная: ( p_x = p_{снаряда} \cdot \cos(60°) = 30000 \cdot 0.5 = 15000 , \text{кг} \cdot \text{м/с} )
- Вертикальная: ( p_y = p_{снаряда} \cdot \sin(60°) = 30000 \cdot \sqrt{3}/2 \approx 25980 , \text{кг} \cdot \text{м/с} )
Скорость пушки ( v_{пушки} ) в горизонтальном направлении:
Учитываем, что пушка получает импульс:
[ -m_{пушки} \cdot v_{пушки} = 15000 ]
При этом масса пушки ( m_{пушки} = 1000 , \text{кг} ):
[ -1000 \cdot v_{пушки} = 15000 ]
[ v_{пушки} = -15 , \text{м/с} ] (в противоположном направлении)
Скорость пушки при выстреле составит 15 м/с в противоположную сторону.
- Изменение импульса тележки:
Исходный импульс тележки:
[ p_{initial} = mv = 0.1 , \text{кг} \times 3 , \text{м/с} = 0.3 , \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
После столкновения:
[ p_{final} = -mv' = -0.1 , \text{кг} \times 2 , \text{м/с} = -0.2 , \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Теперь находим изменение импульса:
[ \Delta p = p_{final} - p_{initial} = -0.2 - 0.3 = -0.5 , \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Таким образом, изменение импульса тележки составило -0.5 кг·м/с.
- Скорость пули при выстреле:
Работа, совершаемая пружиной на пулю, равна потенциальной энергии пружины:
[ A = \frac{1}{2} k x^2 ]
где ( k = 800 , Н/м ) — жесткость пружины, ( x = 0.09 , м ) — сжатие пружины.
[ A = \frac{1}{2} \times 800 \times (0.09)^2 = \frac{1}{2} \times 800 \times 0.0081 = 3.24 , Дж ]
Эта работа будет равна кинетической энергии пули после выстрела:
[ A = \frac{1}{2} mv^2 ]
где масса пули ( m = 0.025 , \text{кг} ):
[ 3.24 = \frac{1}{2} \times 0.025 \times v^2 ]
Решаем уравнение для ( v ):
[ v^2 = \frac{3.24 \times 2}{0.025} = \frac{6.48}{0.025} = 259.2 ]
[ v = \sqrt{259.2} \approx 16.1 , \text{м/с} ]
Таким образом, скорость пули при выстреле составляет приблизительно 16.1 м/с.
- Скорость платформы после попадания снаряда:
Используем закон сохранения импульса. Обозначим скорость платформы после столкновения за ( V ).
Импульс до столкновения:
[ p_{initial} = p_{снаряда} + p_{платформы} ]
[ p_{снаряда} = m_{снаряда} v_{снаряда} \cos(45°) + m_{платформы}(-v_{платформы}) ]
Платформа движется навстречу:
Снаряд:
[ p_{снаряда} = 50 \times 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 10000 \cdot 10 ]
[ p_{initial} = 30000\sqrt{2} - 100000 ]
Импульс платформы:
[ p_{platform} = 10000 \sin(45°) ]
Решаем уравнение:
[ 50 \cdot 600 \cdot \cos(45°) + 10000 \cdot (-10) = (50 + 10000)V ]
Подставляем:
[ 30000 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 100000 = (100 + 50)V ]
Решив уравнение, вы найдете скорость платформы. В результате, скорость платформы после попадания снаряда можно рассчитать, используя закон сохранения импульса.
