С удовольствием помогу вам решить ваши уравнения. Давайте разберем каждое из них по порядку.
а) ( \log_{7}(5-x) = \log_{7}(8) )
Для решения этого уравнения воспользуемся свойством логарифмов: если ( \log_{a}(b) = \log_{a}(c) ), то ( b = c ).
Так как основание одинаковое, можем приравнять аргументы:
( 5 - x = 8 )
Решим это уравнение:
( x = 5 - 8 = -3 )
б) ( \log_{3}(x+8) = 3 )
Аналогично, приравниваем заглавные числа:
( x + 8 = 3^3 )
( x + 8 = 27 )
Теперь решим:
( x = 27 - 8 = 19 )
в) ( \log_{5}(x) = \log_{5}(x^2 - 2) )
Приравниваем аргументы:
( x = x^2 - 2 )
Переносим всё в одну сторону:
( x^2 - x - 2 = 0 )
Разложим на множители:
( (x-2)(x+1) = 0 )
Таким образом, ( x = 2 ) или ( x = -1 ). Но так как логарифм не определен для отрицательных значений, оставляем ( x = 2 ).
г) ( \log_{4}(5-3x) = \log_{4}(x^2 - 7x) )
Приравниваем аргументы:
( 5 - 3x = x^2 - 7x )
Переносим всё в одну часть:
( x^2 - 4x - 5 = 0 )
Разложим на множители:
( (x - 5)(x + 1) = 0 )
Получаем ( x = 5 ) или ( x = -1 ). Снова оставляем только положительное: ( x = 5 ).
д) ( \log_{2}(x) + \log_{2}(x - 1) = 1 )
Сначала объединим логарифмы:
( \log_{2}(x(x-1)) = 1 )
Приравниваем:
( x(x-1) = 2^1 )
( x^2 - x - 2 = 0 )
Разложение:
( (x - 2)(x + 1) = 0 )
Получаем ( x = 2 ) или ( x = -1 ). Оставляем ( x = 2 ).
е) ( \lg(x^2 - 125) - 2 = \lg(x - 6) )
Перепишем:
( \lg(x^2 - 125) = \lg(x - 6) + 2 )
Используем свойство логарифмов:
( \lg(x^2 - 125) = \lg(100(x - 6)) )
Теперь приравниваем аргументы:
( x^2 - 125 = 100(x - 6) )
( x^2 - 100x + 475 = 0 )
Решим с помощью дискриминанта:
( D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 475 )
( D = 10000 - 1900 = 8100 )
Корни:
( x = \frac{100 \pm 90}{2} )
Получаем ( x = 95 ) или ( x = 5 ). Только ( x = 95 ) подходит.
ж) ( \log_{7}(x^2 + 3 - 3x) = 0 )
Приравниваем к единице для логарифма:
( x^2 - 3x + 3 = 1 )
Таким образом:
( x^2 - 3x + 2 = 0 )
Разложим:
( (x - 2)(x - 1) = 0 )
Корни: ( x = 2 ) или ( x = 1 ).
з) ( \log_{17}(2x + 1) = \log_{17}(x^2 - x - 9) )
Приравниваем:
( 2x + 1 = x^2 - x - 9 )
Всё в одну сторону:
( x^2 - 3x - 10 = 0 )
Разложение:
( (x - 5)(x + 2) = 0 )
Корни: ( x = 5 ) или ( x = -2 ). Оставляем ( x = 5 ).
и) ( \log_{0.6}(2x - 5) = \log_{0.6}(x + 3) )
Приравниваем:
( 2x - 5 = x + 3 )
Решаем:
( x = 8 ).
к) ( \ln(3x - 5) = \ln(5x - 11) )
Приравниваем:
( 3x - 5 = 5x - 11 )
Решаем:
( 2x = 6 )
Получаем:
( x = 3 ).
Если вам необходимо уточнить какие-либо шаги или есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать! Успехов в учебе!
