Чтобы решить задачу, начнем с определения необходимых значений.
Пусть окружность имеет центр O, а две точки на окружности обозначим A и B. Угол, который не опирается на меньшую дугу AB, равен 30°. Это значит, что центральный угол AOB, который опирается на меньшую дугу, будет равен 360° - 30° = 330°.
Длина меньшей дуги AB, согласно условию, равна 83 см. Длина дуги на окружности рассчитывается по формуле:
[ L = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi R, ]
где ( L ) — длина дуги, ( \theta ) — центральный угол в градусах, а ( R ) — радиус окружности.
Для меньшей дуги AB имеем:
[ 83 = \frac{330}{360} \cdot 2\pi R. ]
Теперь выразим радиус ( R ):
[ R = \frac{83 \cdot 360}{330 \cdot 2\pi}. ]
Посчитаем:
Сначала найдем значение ( \frac{83 \cdot 360}{330} ):
[ 83 \cdot 360 = 29880, ]
[ \frac{29880}{330} = 90.0. ]
Теперь подставим в формулу:
[ R = \frac{90.0}{2\pi} = \frac{90.0}{6.2832} \approx 14.32 \text{ см}. ]
Теперь, используя радиус, найдем длину большей дуги. Длина большей дуги (которую обозначим как A'B') будет равна:
[ L_{б} = \frac{30}{360} \cdot 2\pi R. ]
Для большей дуги:
[ L_{б} = \frac{30}{360} \cdot 2\pi \cdot 14.32. ]
- Вычисляем ( 2\pi \cdot 14.32 \approx 89.91. )
- Теперь находим длину дуги:
[ L_{б} = \frac{30}{360} \cdot 89.91 ]
[ = \frac{1}{12} \cdot 89.91 \approx 7.49 \text{ см}. ]
Теперь учтем, так как у нас есть длина меньшей дуги и окружности целиком, длина большей дуги будет равна:
[ L = 2\pi R - 83. ]
Посчитаем полную длину окружности:
[ L_{общ} = 2\pi \cdot 14.32 \approx 89.91 \text{ см}. ]
Итак, длина большей дуги равна:
[ L_{б} = 90.0 - 83 \approx 7.0 \text{ см}. ]
Таким образом, длина большей дуги будет равна:
[ L_{б} \approx 90.0 - 83 \approx 7.0 \text{ см}. ]
Ответ: длина большей дуги составляет примерно 7.0 см.
