Вопросы для повторения к главе VI 1 Расскажите, как измеряются площади многоугольников. 2 Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников. 3 Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными? 4 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника. 5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма. 6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам? 7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу. 8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции. 9 10 Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифа- гора. 11 Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников. 12 Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Конечно, с удовольствием помогу вам с вопросами по геометрии, связанными с площадями многоугольников и треугольников. 1. **Измерение площадей многоугольников**: Площадь многоугольника можно измерить различными способами в зависимости от его формы. Для простых многоугольников, таких как квадраты и прямоугольники, площадь рассчитывается по формуле \(S = a \times b\) (для прямоугольника, где \(a\) и \(b\) — стороны). Для произвольных многоугольников можно использовать разбиение на треугольники и сложение их площадей или использовать формулу Герона. 2. **Основные свойства площадей многоугольников**: - Площадь многоугольника неотрицательна. - Если два многоугольника равновелики, то их площади равны. - Площадь сложного многоугольника равна сумме площадей его частей. 3. **Равновеликие и равносоставленные многоугольники**: - Равновеликие многоугольники имеют одинаковую площадь, но могут быть различной формы. - Равносоставленные многоугольники могут быть преобразованы в один из другого без изменения площади, обычно путём сдвига или поворота. 4. **Теорема о вычислении площади прямоугольника**: Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Формально: \( S = a \times b \), где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. Докажем: разделив прямоугольник на единичные квадраты, мы можем сосчитать их количество, которое и будет равно произведению сторон. 5. **Теорема о вычислении площади параллелограмма**: Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту: \( S = a \times h \). Докажем: параллелограммы можно разбить на прямоугольники, площадь которых равна произведению основания на высоту. 6. **Теорема о вычислении площади треугольника**: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} \times a \times h \). Для прямоугольного треугольника, если известны катеты \( a \) и \( b \), то площадь вычисляется как: \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \). 7. **Теорема об отношении площадей двух треугольников с равным углом**: Если два треугольника имеют равный угол и соответствующие стороны пропорциональны, то площади этих треугольников пропорциональны произведениям сторон, образующих общий угол. Докажем: \( S_1/S_2 = (a_1 \times b_1) / (a_2 \times b_2) \). 8. **Теорема о вычислении площади трапеции**: Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{(a + b) \times h}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота. Это следует из того, что трапецию можно представить как составление двух параллелограммов. 9. **Теорема Пифагора**: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Докажем: построив квадрат на гипотенузе и катетах и выразив площадь их разности, мы получим эту формулу. 10. **Обратная теорема Пифагора**: Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник является прямоугольным. Это происходит потому, что такая конфигурация удовлетворяет свойствам прямоугольного треугольника. 11. **Пифагоровы треугольники**: Это треугольники с целочисленными длинами катетов и гипотенузы, для которых выполняется теорема Пифагора. Примеры: \( (3, 4, 5) \), \( (5, 12, 13) \), \( (8, 15, 17) \). 12. **Формула Герона**: Площадь треугольника, заданного длинами сторон \( a, b, c \), вычисляется по формуле: \( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), где \( s = \frac{a+b+c}{2} \) — полупериметр. Эту формулу можно вывести, используя теорему о равенстве площадей. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется больше пояснений по какому-либо пункту, не стесняйтесь обращаться!