- Для определения давления ( p ), которое установится в соединённых сосудах, можно использовать закон Бойля. Объём gases увеличивается при постоянной температуре. Сначала найдём общий объём:
[
V = V_1 + V_2 = 0,02 , \text{м}^3 + 0,06 , \text{м}^3 = 0,08 , \text{м}^3
]
Используя уравнение состояния идеального газа, для начальных условий имеем:
[
p_1 V_1 = n_1 R T
]
где ( p_1 = 4 \cdot 10^5 , \text{Па} ), ( V_1 = 0,02 , \text{м}^3 ). Поскольку температура постоянна и газа в втором баллоне нет, общее количество молей после соединения равно количеству молей в первом сосуде, поэтому:
[
p_1 V_1 = p V
]
Тогда:
[
p = \frac{p_1 V_1}{V} = \frac{4 \cdot 10^5 , \text{Па} \cdot 0,02 , \text{м}^3}{0,08 , \text{м}^3} = 1 \cdot 10^5 , \text{Па}
]
Таким образом, давление, которое установится в сосудах, равно ( 1 \cdot 10^5 , \text{Па} ).
- Для определения максимального давления, которое выдерживает пробирка, воспользуемся законом Генри и уравнением состояния газа. Начальное давление пробирки ( P_0 = 1 , \text{атм} = 101325 , \text{Па} ) и начальная температура ( T_0 = 300 , \text{К} ). После нагревания температура станет ( T = 300 + 100 = 400 , \text{К} ). Используя уравнение состояния идеального газа:
[
\frac{P}{T} = \text{const}
]
Тогда:
[
P = P_0 \cdot \frac{T}{T_0} = 101325 \cdot \frac{400}{300} = 135100 , \text{Па}
]
Максимальное давление, которое выдерживает пробирка, составляет приблизительно ( 135100 , \text{Па} ) или 1,34 атмосферы.
- При нагревании газа при постоянном объёме на 1 К давление увеличилось на 0,2%. Пусть начальное давление газа равно ( P_0 ). После нагревания новое давление равно ( P = P_0 + 0,002 P_0 = 1,002 P_0 ).
Используя уравнение состояния идеального газа:
[
\frac{P}{T} = \text{const}
]
Тогда:
[
\frac{P_0}{T_0} = \frac{1,002 P_0}{T_0 + 1}
]
Можно сократить ( P_0 ):
[
\frac{1}{T_0} = \frac{1,002}{T_0 + 1}
]
Решая это уравнение для ( T_0 ):
[
T_0 + 1 = 1,002 T_0
]
[
1 = 0,002 T_0
]
[
T_0 = \frac{1}{0,002} = 500 , \text{К}
]
Таким образом, начальная температура газа составляет ( 500 , \text{К} ).
- Перевернутый стакан начнёт подниматься в водоёме, когда давление на дне стакана станет равно внешнему давлению воды. Давление в стакане равно ( P_0 - h \cdot \rho \cdot g ), где ( P_0 ) — атмосферное давление, ( h ) — глубина, ( \rho ) — плотность воды, а ( g ) — ускорение свободного падения.
При уравновешивании давлений:
[
P_0 - h \cdot \rho \cdot g = P_{вода}
]
Так как атмосферное давление Ps обычно составляет приблизительно ( 10^5 , \text{Па} ):
Сгибаем уравнение, чтобы выразить ( h ):
[
h = \frac{P_0 - P_{вода}}{\rho g}
]
Чтобы стакан начал подниматься, нужно рассмотреть, что ( P_{вода} = P_0 ). Таким образом, при глубине ( h ) стакан начнет подняваться, когда давление в его верхней части будет равно атмосферному.
- Для того чтобы воздушный шар начал подниматься, нужно, чтобы плотность воздуха внутри шара была меньше плотности окружающего воздуха. Это возможно при нагревании. Если предполагаем, что ( V ) остается постоянным, используем уравнение состояния газов:
[
PV = nRT
]
Изменение температуры ( \Delta T ) приводит к изменению давления и, следовательно, к изменению плотности. Формула для расчета изменений температуры выглядит следующим образом:
[
\Delta P = k \cdot \Delta T
]
где ( k ) — константа. Для конкретного ответа нужно провести расчёты, учитывая начальную температуру воздуха и изменения плотности при различной температуре.
Соответственно, чтобы воздушный шар начал подниматься, его температура должна быть существенно выше температуры окружающего воздуха (обычно на 10-20 °C) в зависимости от условий. Рассчитывая конкретные цифры, можно использовать 30 °C или больше, в зависимости от окружающей среды.
