Стая уток после долгого перелёта опустилась на озеро передохнуть. Квадрат пятой части всех уток радостно закрякал. А оставшиеся 6 6 уток так утомились, что сразу заснули. Сколько уток в стае?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Обозначим общее количество уток в стае как \( x \). Согласно условию, квадрат пятой части всех уток закрякал радостно. Это можно записать как: \[ \left( \frac{x}{5} \right)^2 \] После того как часть уток закрякала, оставшиеся утки заснули. Количество оставшихся уток равно \( x - \frac{x}{5} \). Это можно упростить: \[ x - \frac{x}{5} = \frac{5x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{4x}{5} \] Согласно условию, этих оставшихся уток равно 6. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: \[ \frac{4x}{5} = 6 \] Теперь решим это уравнение для \( x \): 1. Умножим обе стороны на 5: \[ 4x = 30 \] 2. Разделим обе стороны на 4: \[ x = \frac{30}{4} = 7.5 \] Однако количество уток должно быть целым числом. Возможно, было неправильно истолковано условие. Давайте уточним. Если пятую часть уток (которая закрякала) - это не целое число, тогда будем считать, что оно должно быть целым. Пусть у нас будет \( 5n \) уток, где \( n \) - это количество уток в одной части, тогда: 1. Количество уток, которое закрякало: \( n \). 2. Утки, которые заснули: \( 6 \). Согласно этому, общее уравнение будет: \[ 5n - n = 6 \] Упрощаем: \[ 4n = 6 \] Тогда: \[ n = \frac{6}{4} = 1.5 \] Преобразуем \( n \) в целое число. Рассмотрим \( 4n = 6 \) ещё раз. Исходя из задачи, \( x \) должно быть целым числом. Получается, что стая уток может состоять из 30 уток (проверим: \( 30/5 = 6 \), 6 уток заснули, и 24 утки остались). Таким образом, в стае **30 уток**.