Стая уток после долгого перелёта опустилась на озеро передохнуть. Квадрат пятой части всех уток радостно закрякал. А оставшиеся 6 6 уток так утомились, что сразу заснули. Сколько…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим общее количество уток в стае как \( x \).

Согласно условию, квадрат пятой части всех уток закрякал радостно. Это можно записать как:

\[ \left( \frac{x}{5} \right)^2 \]

После того как часть уток закрякала, оставшиеся утки заснули. Количество оставшихся уток равно \( x - \frac{x}{5} \). Это можно упростить:

\[ x - \frac{x}{5} = \frac{5x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{4x}{5} \]

Согласно условию, этих оставшихся уток равно 6. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[ \frac{4x}{5} = 6 \]

Теперь решим это уравнение для \( x \):

1. Умножим обе стороны на 5:

\[ 4x = 30 \]

2. Разделим обе стороны на 4:

\[ x = \frac{30}{4} = 7.5 \]

Однако количество уток должно быть целым числом. Возможно, было неправильно истолковано условие. Давайте уточним. Если пятую часть уток (которая закрякала) - это не целое число, тогда будем считать, что оно должно быть целым.

Пусть у нас будет \( 5n \) уток, где \( n \) - это количество уток в одной части, тогда:

1. Количество уток, которое закрякало: \( n \).
2. Утки, которые заснули: \( 6 \).

Согласно этому, общее уравнение будет:

\[ 5n - n = 6 \]

Упрощаем:

\[ 4n = 6 \]

Тогда:

\[ n = \frac{6}{4} = 1.5 \]

Преобразуем \( n \) в целое число. Рассмотрим \( 4n = 6 \) ещё раз. Исходя из задачи, \( x \) должно быть целым числом.

Получается, что стая уток может состоять из 30 уток (проверим: \( 30/5 = 6 \), 6 уток заснули, и 24 утки остались).

Таким образом, в стае 30 уток.