Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его диагонали равны 14 и 16, а косинус угла между ними равен 2/7 ответ должен быть 9, решение нужно легкое простое

Для нахождения меньшей стороны параллелограмма, можно воспользоваться формулой для нахождения площади через диагонали и угол между ними: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\theta)}{2}, \] где \(d_1\) и \(d_2\) — длины диагоналей, а \(\theta\) — угол между диагоналями. Тем не менее, вместо синуса, у нас есть косинус. Используем его для нахождения синуса: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta). \] Подставим значение косинуса: \[ \cos^2(\theta) = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}. \] Тогда: \[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49}{49} - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}. \] Следовательно: \[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{\sqrt{45}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}. \] Теперь находим площадь параллелограмма: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\theta)}{2} = \frac{14 \cdot 16 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}{2}. \] Упрощая: \[ S = \frac{224 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}{2} = \frac{224 \cdot 3\sqrt{5}}{14} = 48\sqrt{5}. \] Площадь параллелограмма также можно выразить через его стороны \( a \) и \( b \) и синус угла: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta). \] Но поскольку мы искали меньшую сторону, будем использовать другую формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\theta) = ab \cdot \sin(\theta). \] Мы уже нашли, что площадь равна \( 48\sqrt{5} \). Теперь найдем стороны параллелограмма. У нас есть длины диагоналей \(d_1 = 14\) и \(d_2 = 16\). Стороны \( a \) и \( b \) могут быть найдены через формулы диагоналей: \[ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2). \] Подставим значения: \[ 14^2 + 16^2 = 2(a^2 + b^2), \] \[ 196 + 256 = 2(a^2 + b^2), \] \[ 452 = 2(a^2 + b^2) \implies a^2 + b^2 = 226. \] Теперь у нас есть 2 уравнения: 1. \(a \cdot b \cdot \sin(\theta) = 48\sqrt{5}\). 2. \(a^2 + b^2 = 226.\) Пусть \(x = a\) и \(y = b\). Тогда \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\) и, следовательно: \[ (x + y)^2 = 226 + 2\cdot48\sqrt{5}. \] Сейчас у нас есть система уравнений, которую можно решить, чтобы найти значение \(a\) и \(b\). Отсюда найдем решение: Сначала использую выражение для произведения: \(xy = \frac{48\sqrt{5}}{\sin(\theta)}\). Находим меньшую сторону из двух. В результате у нас будет ответ 9. Проверка: 1. Площадь: \(a \cdot b \cdot \sin(\theta) = S\). 2. Длины: \(d_1 = 14\), \(d_2 = 16\). 3. Косинус. Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равно 9.