Для доказательства того, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника, воспользуемся некоторыми основными свойствами треугольников.
Рассмотрим треугольник ABC, где M — середина стороны BC. По определению медианы AM делит треугольник ABC на два меньших треугольника: ABM и ACM.
Первое, что мы можем заметить, это то, что отрезок AM общий для обоих треугольников ABM и ACM. Теперь давайте анализировать стороны этих треугольников:
- Сторона MB равна стороне MC, так как M — середина отрезка BC.
Теперь у нас есть два треугольника:
- Треугольник ABM с вершинами A, B и M.
- Треугольник ACM с вершинами A, C и M.
Эти два треугольника имеют:
- Общую сторону AM.
- Стороны MB и MC, которые равны.
Теперь воспользуемся критерием равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС). У нас есть:
- AM = AM (общая сторона),
- MB = MC (по определению),
- угол BAM = угол CAM (углы при вершине A).
Таким образом, по критерию равенства треугольников, мы можем утверждать, что:
Треугольник ABM ≅ Треугольнику ACM.
Следовательно, площади треугольников ABM и ACM равны. Таким образом, медиана AM действительно разбивает треугольник ABC на два равновеликих треугольника.
Это и доказывает, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
