Контрольная работа по теме: «Квадратные уравнения». Вариант 1 1. Решить уравнения: a) 4x2 + 12x = 0 б) 4x2 - 25 = 0 2. Решите уравнение по теореме Виета х2 - 9х + 8 = 0. 3. Решите…

Конечно! Давайте внимательно разберем все задачи из контрольной работы по теме «Квадратные уравнения».

Вариант 1

1. Решить уравнения:

   • а) \(4x^2 + 12x = 0\)

     • Мы можем вынести общий множитель: \(4x(x + 3) = 0\).
     • Значит, \(4x = 0\) даёт \(x = 0\) и \(x + 3 = 0\) даёт \(x = -3\).
     • Ответ: \(x = 0\) и \(x = -3\).

   • б) \(4x^2 - 25 = 0\)

     • Это уравнение можно привести к виду разности квадратов: \( (2x)^2 - 5^2 = 0 \).
     • Тогда мы можем записать: \( (2x - 5)(2x + 5) = 0 \).
     • Соответственно, \(2x - 5 = 0\) даёт \(x = 2.5\) и \(2x + 5 = 0\) даёт \(x = -2.5\).
     • Ответ: \(x = 2.5\) и \(x = -2.5\).

2. Решите уравнение по теореме Виета:

   • \(x^2 - 9x + 8 = 0\)
   • По теореме Виета сумма корней \(S = 9\), произведение корней \(P = 8\).
   • Корни можно найти как \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 8\).
   • Проверяем: \(1 + 8 = 9\) и \(1 \cdot 8 = 8\).
   • Ответ: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 8\).

3. Решите уравнение:

   • \(2x^2 + 4x + 3 = 0\)
   • Здесь необходимо использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8\).
   • Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней.
   • Ответ: нет действительных корней.

4. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

   • Пусть \(x\) — меньшее число, тогда \(x + 6\) — большее число.
   • Уравнение: \(x(x + 6) = 187\).
   • Раскроем скобки: \(x^2 + 6x - 187 = 0\).
   • Найдем дискриминант: \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784\).
   • Корни: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 28}{2}\).
   • Получаем \(x_1 = 11\) и \(x_2 = -17\) (отрицательный корень не рассматриваем).
   • Значит, первое число \(11\), а второе \(11 + 6 = 17\).
   • Ответ: \(11\) и \(17\).

5. Сократите дробь:

   • \(\frac{4 - 9}{y^2}\)
   • Приведем числитель к простому виду: \(4 - 9 = -5\).
   • Дробь получается: \(\frac{-5}{y^2}\)
   • Ответ: \(\frac{-5}{y^2}\).

Вариант 2

1. Решить уравнения:

   • а) \(6x^2 + 18x = 0\)

     • Вынесем общий множитель: \(6x(x + 3) = 0\).
     • Ответ: \(x = 0\) и \(x = -3\).

   • б) \(4x^2 - 9 = 0\)

     • Разность квадратов: \((2x)^2 - 3^2 = 0\).
     • Ответ: \(x = 1.5\) и \(x = -1.5\).

2. Решите уравнение по теореме Виета:

   • \(x^2 - 8x + 7 = 0\)
   • Сумма корней \(S = 8\), произведение \(P = 7\).
   • Ответ: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 7\).

3. Решите уравнение:

   • \(3x^2 + 5x + 6 = 0\)
   • Найдем дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47\).
   • Дискриминант отрицательный, значит, действительных корней нет.
   • Ответ: нет действительных корней.

4. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 84. Найдите эти числа.

   • Пусть \(x\) — меньшее число, \(x + 5\) — большее.
   • Уравнение: \(x(x + 5) = 84\).
   • Получаем: \(x^2 + 5x - 84 = 0\).
   • Дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361\).
   • Корни: \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-5 \pm 19}{2}\).
   • Получаем корни: \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -12\) (отрицательный корень не рассматриваем).
   • Первое число \(7\), второе \(7 + 5 = 12\).
   • Ответ: \(7\) и \(12\).

5. Сократить дробь:

   • \(\frac{1 - 16x^2}{1} = 1 - 16x^2\).
   • Это разность квадратов: \(1 - (4x)^2\).
   • Ответ: \((1 - 4x)(1 + 4x)\).

Надеюсь, это поможет вам в подготовке к контрольной работе! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.