В задаче о трапеции ABCD, где AD и BC — основания, а диагонали пересекаются в точке O, мы имеем следующие данные:
- Площадь треугольника SAOD равна 32 см².
- Площадь треугольника SBOC равна 8 см².
- Большое основание трапеции (BC) равно 12 см.
Пусть меньшее основание (AD) обозначим как ( x ). Известно, что площадь трапеции можно выразить через площади треугольников:
Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников SAOD и SBOC:
[
S_{ABCD} = S_{SAOD} + S_{SBOC} = 32 , \text{см}² + 8 , \text{см}² = 40 , \text{см}²
]
Также площадь трапеции можно вычислить по формуле:
[
S_{ABCD} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
где ( a ) и ( b ) — основания, а ( h ) — высота.
В нашем случае:
[
40 = \frac{(12 + x) \cdot h}{2}
]
Теперь давайте выразим высоту ( h ) через ( x ):
[
80 = (12 + x) \cdot h
]
То есть:
[
h = \frac{80}{12 + x}
]
Теперь также применим свойство отношений площадей треугольников, основанное на отношениях оснований трапеции, поскольку площади треугольников SAOD и SBOC пропорциональны основаниям AD и BC:
[
\frac{S_{SAOD}}{S_{SBOC}} = \frac{AD}{BC}
]
Подставим известные площади и основание:
[
\frac{32}{8} = \frac{x}{12}
]
Преобразуем это уравнение:
[
4 = \frac{x}{12} \implies x = 4 \cdot 12 = 48
]
Однако этот результат не логичен, потому что основание не может превышать 12 см. Давайте проанализируем еще раз:
Мы видим, что:
[
\frac{32}{8} = 4 \quad \text{означает} \quad x = 4 \cdot 12 / 4
]
Это приводит нас к правильному уравнению:
[
x = \frac{32 \cdot 12}{8} = 48 \text{ (неправильно)}
]
Давайте используем пропорцию площадей:
Мы видим, что ( \frac{AD}{BC} = \frac{1}{4} ), так как площади треугольников пропорциональны. Тогда, если BC = 12 см, то:
[
AD = \frac{12}{4} = 3 , \text{см}
]
Таким образом, меньшее основание трапеции ( AD = 3 , \text{см} ).
Итак, меньшее основание трапеции равно 3 см.
