Докажите или опровергните x⊕(y→z)≡(x⊕y)→(x⊕z)
Для того чтобы доказать или опровергнуть равенство \( x \oplus (y \to z) \equiv (x \oplus y) \to (x \oplus z) \), где \( \oplus \) обозначает операцию исключающего ИЛИ (XOR), а \( \to \) – импликацию, мы можем использовать таблицу истинности.
- Напомним, что:
- \( x \oplus y \) истинно, если только один из \( x \) или \( y \) истинен.
- Импликация \( y \to z \) эквивалентна \( \neg y \lor z \) (ложна только тогда, когда \( y \) истинно и \( z \) ложно).
Теперь создадим таблицу истинности для обеих сторон равенства:
| \( x \) | \( y \) | \( z \) | \( y \to z \) | \( x \oplus (y \to z) \) | \( x \oplus y \) | \( x \oplus z \) | \( (x \oplus y) \to (x \oplus z) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Теперь сравним значения \( x \oplus (y \to z) \) и \( (x \oplus y) \to (x \oplus z) \):
|-|0|0|0|0|1|1|0|0| |-|1|1|1|1|1|1|1|1| |-|0|1|1|1|0|0|1|0|
Как видно из таблицы истинности, значения \( x \oplus (y \to z) \) и \( (x \oplus y) \to (x \oplus z) \) не совпадают для всех комбинаций входных значений. Поэтому равенство \( x \oplus (y \to z) \equiv (x \oplus y) \to (x \oplus z) \) не выполняется.
В заключение, можно сделать вывод, что данное выражение опровергнуто.
