Стая уток после долгого перелёта опустилась на озеро передохнуть. Квадрат седьмой части всех уток радостно закрякал. А оставшиеся 10 уток так утомились, что сразу заснули. Сколько уток в стае?

Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом. Обозначим общее количество уток в стае как \( x \). Согласно условию, квадрат седьмой части всех уток закрякал, это значит, что: \[ \left( \frac{x}{7} \right)^2 \] Это количество уток закрякало. После этого мы знаем, что 10 уток заснули. Следовательно, общее количество уток можно выразить следующим уравнением: \[ \left( \frac{x}{7} \right)^2 + 10 = x \] Теперь умножим всё уравнение на 7, чтобы избавиться от дробей: \[ \left( \frac{x}{7} \right)^2 \text{ умножаем на } 49: \] \[ \frac{x^2}{49} + 10 = x \] Перемножим всё на 49: \[ x^2 + 490 = 49x \] Теперь соберём все члены в одном уравнении: \[ x^2 - 49x + 490 = 0 \] Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -49 \), \( c = 490 \). Вычисляем дискриминант: \[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 490 = 2401 - 1960 = 441 \] Теперь находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 \pm \sqrt{441}}{2} \] Так как \( \sqrt{441} = 21 \): \[ x = \frac{49 \pm 21}{2} \] Находим два возможных решения: 1. \( x_1 = \frac{70}{2} = 35 \) 2. \( x_2 = \frac{28}{2} = 14 \) У нас есть два возможных количества уток в стае: 35 и 14. Однако, давайте проверим, какое из них соответствует условиям задачи. Для \( x = 14 \): \[ \frac{14}{7} = 2 \quad \text{и} \quad 2^2 = 4 \] Оставшиеся утки: \( 14 - 4 - 10 = 0 \) (данное количество не подходит). Теперь проверим \( x = 35 \): \[ \frac{35}{7} = 5 \quad \text{и} \quad 5^2 = 25 \] Оставшиеся утки: \( 35 - 25 - 10 = 0 \) (данное количество тоже не подходит). Таким образом, ответ на ваш вопрос: в стае **35 уток**.