Стая уток после долгого перелёта опустилась на озеро передохнуть. Квадрат седьмой части всех уток радостно закрякал. А оставшиеся 10 уток так утомились, что сразу заснули. Сколько…

Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.

Обозначим общее количество уток в стае как \( x \).

Согласно условию, квадрат седьмой части всех уток закрякал, это значит, что:

\[ \left( \frac{x}{7} \right)^2 \]

Это количество уток закрякало. После этого мы знаем, что 10 уток заснули. Следовательно, общее количество уток можно выразить следующим уравнением:

\[ \left( \frac{x}{7} \right)^2 + 10 = x \]

Теперь умножим всё уравнение на 7, чтобы избавиться от дробей:

\[ \left( \frac{x}{7} \right)^2 \text{ умножаем на } 49: \]

\[ \frac{x^2}{49} + 10 = x \]

Перемножим всё на 49:

\[ x^2 + 490 = 49x \]

Теперь соберём все члены в одном уравнении:

\[ x^2 - 49x + 490 = 0 \]

Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -49 \), \( c = 490 \).

Вычисляем дискриминант:

\[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 490 = 2401 - 1960 = 441 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 \pm \sqrt{441}}{2} \]

Так как \( \sqrt{441} = 21 \):

\[ x = \frac{49 \pm 21}{2} \]

Находим два возможных решения:

1. \( x_1 = \frac{70}{2} = 35 \)
2. \( x_2 = \frac{28}{2} = 14 \)

У нас есть два возможных количества уток в стае: 35 и 14.

Однако, давайте проверим, какое из них соответствует условиям задачи. Для \( x = 14 \):

\[ \frac{14}{7} = 2 \quad \text{и} \quad 2^2 = 4 \] Оставшиеся утки: \( 14 - 4 - 10 = 0 \) (данное количество не подходит).

Теперь проверим \( x = 35 \):

\[ \frac{35}{7} = 5 \quad \text{и} \quad 5^2 = 25 \] Оставшиеся утки: \( 35 - 25 - 10 = 0 \) (данное количество тоже не подходит).

Таким образом, ответ на ваш вопрос: в стае 35 уток.