В правильном тетраэдре ABCD у нас есть вершины A, B, C и D, где все рёбра равны между собой. Для решения задачи сначала определим координаты вершин тетраэдра.
Допустим, вершины тетраэдра находятся в пространстве следующим образом:
- A(1, 1, 1)
- B(1, -1, -1)
- C(-1, 1, -1)
- D(-1, -1, 1)
Теперь найдем середины рёбер AD и BD. Координаты этих середину M и N будут рассчитаны по формуле средней точки:
Середина отрезка AD (точка M):
[
M = \left( \frac{x_A + x_D}{2}, \frac{y_A + y_D}{2}, \frac{z_A + z_D}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (0, 0, 1)
]
Середина отрезка BD (точка N):
[
N = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = (0, -1, 0)
]
Далее определим векторы MN и DC.
Вектор MN:
[
\overrightarrow{MN} = N - M = (0, -1, 0) - (0, 0, 1) = (0, -1, -1)
]
Вектор DC:
[
\overrightarrow{DC} = C - D = (-1, 1, -1) - (-1, -1, 1) = (0, 2, -2)
]
Теперь мы можем найти угол между векторами MN и DC. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:
[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{DC}|}
]
Сначала найдем скалярное произведение (\overrightarrow{MN}) и (\overrightarrow{DC}):
[
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{DC} = (0) \cdot (0) + (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) = -2 + 2 = 0
]
Таким образом, мы видим, что скалярное произведение равно 0, что означает, что векторы MN и DC перпендикулярны друг другу.
Следовательно, угол между ними равен 90 градусам.
Ответ: угол между прямыми MN и DC равен 90 градусам.
