В треугольнике ( ABC ) с прямым углом при ( A ) ( ( \angle A = 90^\circ) ) и стороной ( AB = 34 ) нам нужно найти длину стороны ( BC ), зная, что внешний угол при вершине ( B ) равен ( 120^\circ ).
Сначала напомним, что внешний угол и внутренний угол находятся в отношении: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных к нему. В данном случае, если обозначить ( \angle B ) как внутренний угол, то:
[
\angle B + 120^\circ = 180^\circ
]
Таким образом:
[
\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
]
Теперь у нас есть два угла в треугольнике ( ABC ):
- ( \angle A = 90^\circ )
- ( \angle B = 60^\circ )
Сторона ( BC ) является противолежащей стороной для угла ( B ), а сторона ( AB ) — прилежащей стороной. Используем отношение для тангенса угла:
[
\tan(\angle B) = \frac{AC}{AB}
]
Зная, что ( AB = 34 ) и ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ), мы можем выразить ( AC ):
[
\sqrt{3} = \frac{AC}{34} \Rightarrow AC = 34\sqrt{3}
]
Теперь можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону ( BC ):
[
AB^2 + AC^2 = BC^2
]
Подставим известные значения:
[
34^2 + (34\sqrt{3})^2 = BC^2
]
[
1156 + 34^2 \cdot 3 = BC^2
]
[
1156 + 1156 = BC^2
]
[
BC^2 = 2312
]
Теперь найдём ( BC ):
[
BC = \sqrt{2312} = \sqrt{4 \cdot 578} = 2\sqrt{578}
]
Таким образом, длина стороны ( BC ) равна ( 2\sqrt{578} ). Можно приблизительно вычислить значение:
[
BC \approx 2 \cdot 24.08 \approx 48.16
]
Это и будет искомая длина стороны ( BC ).
