В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30°.Сторона основания равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды
Чтобы найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно сначала определить её составляющие. Площадь поверхности складывается из площади основания и площади боковых граней.
Площадь основания: Основание пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной 12 см. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, \]
где \(a\) — длина стороны. Подставим значение:
\[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (12)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2. \]
Высота боковой грани: Мы знаем, что апофема \(h_a\) пирамиды образует угол 30° с плоскостью основания.
Апофема – это высота боковой грани, а высота пирамиды \(h\) может быть найдена с помощью тригонометрии. Если обозначим \(h\) — высота пирамиды, то по определению косинуса в треугольнике можно записать:
\[ \cos(30°) = \frac{h}{h_a} \Rightarrow h_a = \frac{h}{\cos(30°)} = h \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \]
Также мы можем выразить \(h\) через \(h_a\):
\[ h = h_a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Сторона боковой грани: Высота боковой грани можно найти из равнобедренного треугольника, где основание равно 6 см (половина стороны основания). Площадь боковой грани получается из:
\[ \tan(30°) = \frac{h}{6} \Rightarrow h = 6 \tan(30°) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \]
Таким образом,
\[ h_a = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}. \]
Площадь боковых граней: Теперь можно найти площадь одной боковой грани, которая является равнобедренным треугольником с основанием 12 см и высотой 4 см:
\[ S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2. \]
Так как у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:
\[ S_{боковых} = 3 \cdot S_{боковой} = 3 \cdot 24 = 72 \text{ см}^2. \]
Суммарная площадь поверхности: Теперь мы можем объединить площади основания и боковых граней:
\[ S_{поверхности} = S_{основания} + S_{боковых} = 36\sqrt{3} + 72. \]
Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \(36\sqrt{3} + 72 \text{ см}^2\).
