Площадь прямоугольника равна 56 дм ². Найди его стороны, если периметр прямоугольника равен 30 дм.

Для решения задачи о прямоугольнике с заданной площадью и периметром, давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\).

1. Из условия задачи мы знаем, что:

   • Площадь прямоугольника: \(S = a \times b = 56\) дм².
   • Периметр прямоугольника: \(P = 2(a + b) = 30\) дм.

   Из уравнения периметра можно выразить \(a + b\): \[ a + b = \frac{30}{2} = 15 \text{ дм}. \]

2. Теперь у нас есть система уравнений: \[ a \times b = 56, \] \[ a + b = 15. \]

3. Из второго уравнения выразим одну сторону через другую. Например, выразим \(b\): \[ b = 15 - a. \]

4. Подставим это значение во первое уравнение: \[ a \times (15 - a) = 56. \]

5. Раскроем скобки: \[ 15a - a^2 = 56. \]

6. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 15a + 56 = 0. \]

7. Теперь можно решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \times 1 \times 56 = 225 - 224 = 1. \]

8. Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 1}{2}. \] Это даёт два значения: \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8 \text{ дм}, \quad a_2 = \frac{14}{2} = 7 \text{ дм}. \]

9. Следовательно, стороны прямоугольника:

   • \(a = 8 \text{ дм} \) и \(b = 7 \text{ дм} \) (либо наоборот).

Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 дм и 7 дм.