Чтобы найти стороны прямоугольника, нам нужно использовать формулы для периметра и площади.
Периметр (P) прямоугольника можно выразить как:
[ P = 2(a + b) ]
где (a) и (b) — длины сторон прямоугольника. У нас дан периметр:
[ 2(a + b) = 14 ]
Разделим обе стороны на 2:
[ a + b = 7 \quad (1) ]
Площадь (S) прямоугольника выражается как:
[ S = a \cdot b ]
У нас есть площадь:
[ a \cdot b = 10 \quad (2) ]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( a + b = 7 )
- ( a \cdot b = 10 )
Из уравнения (1) выразим одну из сторон, например (b):
[ b = 7 - a ]
Подставим это значение для (b) в уравнение (2):
[ a \cdot (7 - a) = 10 ]
Раскроем скобки:
[ 7a - a^2 = 10 ]
Переносим все в одно уравнение:
[ -a^2 + 7a - 10 = 0 ]
Умножим на (-1):
[ a^2 - 7a + 10 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac ]
где (a = 1), (b = -7), (c = 10):
[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 ]
Теперь найдем корни уравнения:
[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2} ]
Таким образом, у нас два корня:
- ( a_1 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( a_2 = \frac{4}{2} = 2 )
Теперь найдем (b) для каждого значения (a):
- Если (a = 5), то (b = 7 - 5 = 2).
- Если (a = 2), то (b = 7 - 2 = 5).
Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 2 см.
