Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр равен 14 см, а площадь – 10 см²?
Чтобы найти стороны прямоугольника, нам нужно использовать формулы для периметра и площади.
Периметр \(P\) прямоугольника можно выразить как: \[ P = 2(a + b) \] где \(a\) и \(b\) — длины сторон прямоугольника. У нас дан периметр: \[ 2(a + b) = 14 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 7 \quad (1) \]
Площадь \(S\) прямоугольника выражается как: \[ S = a \cdot b \] У нас есть площадь: \[ a \cdot b = 10 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a + b = 7 \)
- \( a \cdot b = 10 \)
Из уравнения (1) выразим одну из сторон, например \(b\): \[ b = 7 - a \]
Подставим это значение для \(b\) в уравнение (2): \[ a \cdot (7 - a) = 10 \] Раскроем скобки: \[ 7a - a^2 = 10 \] Переносим все в одно уравнение: \[ -a^2 + 7a - 10 = 0 \] Умножим на \(-1\): \[ a^2 - 7a + 10 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 10\): \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2} \]
Таким образом, у нас два корня:
- \( a_1 = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( a_2 = \frac{4}{2} = 2 \)
Теперь найдем \(b\) для каждого значения \(a\):
- Если \(a = 5\), то \(b = 7 - 5 = 2\).
- Если \(a = 2\), то \(b = 7 - 2 = 5\).
Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 2 см.
