3x²+7x-10>0

Чтобы решить неравенство \(3x^2 + 7x - 10 > 0\), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^2 + 7x - 10 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = -10\).

Подставим значения:

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 13}{6} \]

Теперь найдем два корня:

1. \(x_1 = \frac{-7 + 13}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
2. \(x_2 = \frac{-7 - 13}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}\)

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{10}{3}\).

Далее, определим знаки функции \(3x^2 + 7x - 10\) на числовой прямой. Мы проверяем интервалы, которые ограничены найденными корнями:

1. \((-∞, -\frac{10}{3})\)
2. \((- \frac{10}{3}, 1)\)
3. \( (1, +∞)\)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала:

1. Для \(x = -4\) (интервал \((-∞, -\frac{10}{3})\)): \[ 3(-4)^2 + 7(-4) - 10 = 48 - 28 - 10 = 10 > 0 \]

2. Для \(x = 0\) (интервал \((- \frac{10}{3}, 1)\)): \[ 3(0)^2 + 7(0) - 10 = -10 < 0 \]

3. Для \(x = 2\) (интервал \((1, +∞)\)): \[ 3(2)^2 + 7(2) - 10 = 12 + 14 - 10 = 16 > 0 \]

Таким образом, неравенство \(3x^2 + 7x - 10 > 0\) выполняется при:

\[ x \in (-\infty, -\frac{10}{3}) \cup (1, +\infty) \]

Это означает, что решение данного неравенства — это объединение двух интервалов: \(x < -\frac{10}{3}\) или \(x > 1\).