Для решения данной задачи мы используем закон всемирного тяготения и известные данные о ускорении свободного падения на высоте. Ускорение свободного падения на высоте ( h ) можно рассчитать по следующей формуле:
[
g_h = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2}
]
где:
- ( g_h ) — ускорение свободного падения на высоте ( h ) (в нашем случае ( g_h = 4.7 , \text{м/с}^2 )),
- ( G ) — гравитационная постоянная (( 6.7 \times 10^{-11} , \text{н} \cdot \text{м}^2/\text{кг} )),
- ( M ) — масса Земли (( 6 \times 10^{24} , \text{кг} )),
- ( R ) — радиус Земли (( 6400 , \text{км} = 6.4 \times 10^6 , \text{м} )).
Сначала подставим известные значения в формулу:
[
4.7 = \frac{(6.7 \times 10^{-11}) \cdot (6 \times 10^{24})}{(6.4 \times 10^6 + h)^2}
]
Теперь вычислим значение правой части:
[
4.7 \cdot (6.4 \times 10^6 + h)^2 = (6.7 \times 10^{-11}) \cdot (6 \times 10^{24})
]
Сначала найдем произведение гравитационной постоянной и массы Земли:
[
(6.7 \times 10^{-11}) \cdot (6 \times 10^{24}) = 4.02 \times 10^{14}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
4.7 \cdot (6.4 \times 10^6 + h)^2 = 4.02 \times 10^{14}
]
Разделим обе стороны на 4.7:
[
(6.4 \times 10^6 + h)^2 = \frac{4.02 \times 10^{14}}{4.7}
]
Выразим правую часть:
[
(6.4 \times 10^6 + h)^2 \approx 8.55 \times 10^{13}
]
Теперь извлечем корень из обоих сторон:
[
6.4 \times 10^6 + h \approx \sqrt{8.55 \times 10^{13}} \approx 9.25 \times 10^6
]
Теперь найдем высоту ( h ):
[
h \approx 9.25 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 \approx 2.85 \times 10^6 , \text{м}
]
Таким образом, высота, на которой величина ускорения свободного падения достигает 4,7 м/с², составляет примерно 2,85 миллиона метров или 2850 км.
